ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೨೫

೨೫ . ವರ್ಗಮೂಲ

ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರವನ್ನು  (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೪) ನೀವು ಮನೋಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಮನಃಪಟಲದಲ್ಲಿ ಮೂಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲೋಸುಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.



ಈ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಿಸುವಾಗ ಕೆಲವು ತೊಡಕುಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನೂ ಮತ್ತು ಅವನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನೂ ಈ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಈ ಮುಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಕೆಲವು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಏಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.



ಮೊದಲನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪೯ ಅನ್ನು ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ  ೧೦ ಭಾಗಲಬ್ಧವೂ ೯ ಶೇಷವೂ ಲಭಿಸಬೇಕಲ್ಲವೇ?  ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಬಾಗಲಬ್ಧ ೯, ಶೇಷ ೧೩ ಎಂದು ನಮೂದಿಸಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಕಾರಣಗಳಿವೆ ; ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಬಾಗಾಹಾರದ ಲೆಕ್ಕಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಜಕದಿಂದ ಒಂದು ಬಾರಿ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ ೯ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಆ ಗರಿಷ್ಠ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಲಭಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಬಲವಂತವಾಗಿ ೯ ಕ್ಕೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದೆ. ತತ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಶೇಷ ೧೩  ಭಾಜಕಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ೧೦ ಎಂದು ನಮೂದಿಸಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತಿತ್ತು? ಶೇಷ ೯ ಆಗಿ, ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ಸಂಖ್ಯೆ ೯೪ ಆಗುತ್ತಿತ್ತು. ಅದರಿಂದ ೧೦ ರ ವರ್ಗವನ್ನು, ಅರ್ಥಾತ್ ೧೦೦ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ೯೪-೧೦೦ ! ಇಂತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ಪತ್ತಿ ಆಗುವುದನ್ನೂ ಬಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ೯ ಕ್ಕೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದ್ದು ತಪ್ಪಿಸಿತು. ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀವೇ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ. ನೆನಪಿಡಿ: ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೯ ಅನ್ನು ಮೀರುವಂತಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ೯ ಕ್ಕೇ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿ.

ಪುನಃ ಮುಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೇರೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷಗಳು ಇರುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಏಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.



ಮೊದಲನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೫೦ ಅನ್ನು ೬ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ೮ ಎಂದೂ (ಇದು ೯ ಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇದ್ದರೂ) ಶೇಷವನ್ನು ೨ ಎಂದೂ ಏಕೆ ಬರೆದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಂತು ಬರೆದಿದ್ದರೆ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ೨೪ ಇಂದ ೬೪ ಅನ್ನು (೮ ರ ವರ್ಗ) ಕಳೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತಿತ್ತು! ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಇಳಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಈ ತೊಡಕು ನಿವಾರಣೆ ಆಯಿತು. ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀವೇ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ. ನೆನಪಿಡಿ: ಯಾವದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಳೆಯುವಾಗ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರೆಯುವಂತಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲೋಸುಗ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಎಷ್ಟು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಬೇಕೋ ಅಷ್ಟು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಬೇಕು (ಅದು ೧, ೨ --- ಹೀಗೆ ಎಷ್ಟೂ ಆಗಿರಬಹುದು).

ಪುನಃ ಮುಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಪ್ರತಿಪಾದಿತ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದಾಗ ಒಂದನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳು ಮುಗಿದರೂ ಶೇಷ ೦ ಆಗಿಲ್ಲ! ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳು ಮುಗಿದ ನಂತರ ೦ ಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುತ್ತಾ ಮುಂದುವರಿದರೂ ಶೇಷ ೦ ಆಗುವ ಲಕ್ಷಣ ಗೋಚರಿಸದಿರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ.



ಇಂತು ೦ ಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಯುಕ್ತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಲಗತ್ತಿಸಿರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಇಂತಾದರೆ ಏನು ಅರ್ಥ? ಉತ್ತರವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿಯೇ ನಮೂದಿಸಿದೆ. ಅಂದ ಹಾಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಲು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿವೆಯಲ್ಲವೇ? ಅವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ ಇಷ್ಟು ಶ್ರಮ ಪಡುವುದು ತಪ್ಪುತ್ತದೆ. (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೩)

ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಈ ತನಕ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪಂಕ್ತಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯದೆಯೂ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಯಲು ಸಾಧ್ಯ. ವಿವರಿಸಿದ ತತ್ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡುವಷ್ಟು ಪರಿಣತಿಯನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸಮುಖೇನ ಗಳಿಸಿದರೆ. ಮುಂದೆ ನೀಡಿರುವ ಒಂದನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಸುಕಾಗಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವನ್ನು ತೋರಿಸಿಲ್ಲ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ



ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ತಂತ್ರ ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.