೨೬ . ವರ್ಗಮೂಲ
ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ ವಿಧಾನ ತಿಳಿಯುವ ಮುನ್ನ ‘ದ್ವಂದ್ವ -ಯೋಗ’ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯಲೇಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜೋಡುಸಂಖ್ಯೆ ಅನ್ನಬಹುದಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇದು.
ಈ ಮುಂದಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮನೋಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.
* ಒಂದು ಅಂಕಿಯುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ: ೮ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೮೨ = ೬೪. ೨ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨೨ = ೪.
* ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡರಷ್ಟರ ಮೊತ್ತ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ.
ಉದಾಹರಣೆ (ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿವೆ): ೪೮ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೪ x ೮ = ೬೪. ೩೫ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೩ x ೫ = ೩೦. ೧೨೩೪ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨ x ೧ x ೪) + (೨ x ೨ x ೩) = ೨೦. ೫೩೫೦ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨ x ೫ x ೦) + (೨ x ೩ x ೫) = ೩೦. ೩೨೪೦೩೬ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨ x ೩ x ೬) + (೨ x ೨ x ೩) + (೨ x ೪ x ೦) = ೪೮.
* ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಯ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡರಷ್ಟರ ಮೊತ್ತ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ.
ಉದಾಹರಣೆ (ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿವೆ): ೧೨೩ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨೨) + (೨ x ೧ x ೩) = ೧೦. ೧೨೩೪೫ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೩೨) + (೨ x ೧ x ೫) + (೨ x ೨ x ೪) = ೩೫.
ಈ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆಯೊಂದಿಗೆ ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸಲು ಆರಂಭಿಸಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗೆ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಹಿಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಂತೆ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ೯ ಕ್ಕೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಸಲ ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಲೂ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೫). ನಿಮ್ಮ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಸುದೀರ್ಘ ವಿವರಣೆ ಸಹಿತವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
(೧) ಈ ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡೆರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.
(೨) ಎಡ ತುದಿಯ ಮೊದಲನೇ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆದು ಅದರ ಮುಂದೊಂದು ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆ ಹಾಕಿ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೧). ತದನಂತರ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತುಸು ಹರಡಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೂ ೪ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಬರೆಯುವಷ್ಟು ಸ್ಥಳ ಖಾಲಿ ಬಿಟ್ಟು ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಲಭಿಸುವ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳೇ ಈ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಅಂಕಿಗಳು. ಇವೇ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅಂಕಿಗಳು. ದ್ವಂದ್ವ ಐಓಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಕಿಗಳು ಇವೇ ಆಗಿವೆ.
(೩) ಎಡ ತುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಅರ್ಥಾತ್ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದೂ ೧). ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದೂ ೧) ಆ ಗುಂಪಿನ ನೇರದಲ್ಲಿಯೇ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದು ಅದರ ಮುಂದೊಂದು ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯಾಗಿದ್ದರೂ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಕೂಡದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಈ ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿದೆ. ಇಂತು ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೨) ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲಿನ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಭಾಜಕ ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ಭಾಜಕ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಎಡ ತುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಅರ್ಥಾತ್ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಅದನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೇ ಕಳೆದು ಉಳಿದ ಶೇಷವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೦) ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಬಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತುಸು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದರ ಮುಂದೆ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೦೫). ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಮುಂದಿನ ಹಂತದ ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ.
(೪) ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ, ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅಂಕಿಯೂ ಇಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ೦. ಎಲ್ಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಇದು ಮಾತ್ರ ೦ ಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ). ಹಿಂದಿನಹಂತದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಈ ದ್ವಂದ್ವ ಯೋಗವನ್ನು ಕಳೆದು ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ನೇರದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದೇ ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೦೫-೦೦=೦೫), ಈ ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಭಾಜಕದಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೨) ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೨) ಅದೇ ನೇರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಅಭ್ಯಾಸವಾಗುವ ವರೆಗೆ ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೦೪). ಶೇಷವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧) ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಎಡ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತುಸು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದರಿಂದ ಉಂಟಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧೧) ಮುಂದಿನ ಹಂತದ ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ.
ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಅಂಕಿಗಳು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ತನಕ ಈ ಹಂತವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ ಮುಂದೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ ಅಧ್ಯಯಿಸಿ.
(೫) * ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೧೧, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸ ಬೇಕು. ಹಾಲಿ ಅಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ:೨. ಆದ್ದರಿಂದ) = ೨೨ = ೪. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೧೧-೪ = ೭.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೩, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೬, ಶೇಷ ೧. ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸಿದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೧೫, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩. ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = ೨ x ೨ x ೩ = ೧೨. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೧೫-೧೨ = ೩.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೧, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೨, ಶೇಷ ೧.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೧೩, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩, ೧ . ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩೧ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = (೨ x ೨ x ೧) + ೩೨ = ೧೩. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೧೩-೧೩ = ೦. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೦, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೦, ಶೇಷ ೦.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೦೬, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩, ೧, ೦. ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩೧೦ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = (೨ x ೨ x ೦) + (೨ x ೩ x ೧) = ೬. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೦೬-೬ = ೦.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೦, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೦, ಶೇಷ ೦.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೦೧, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩, ೧, ೦, ೦. ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩೧೦೦ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = (೨ x ೨ x ೦) + (೨ x ೩ x ೦) + ೧೨ = ೧. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೦೧-೧ = ೦.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೦, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೦, ಶೇಷ ೦.
ಗಮನಿಸಿ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಉಳಿಯುವ ಶೇಷ ೦. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ.
(೬) ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಳಿಸಿದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಇವು: ೧೨೩೧೦೦. ಆರಂಬದಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡೆರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಆಗ ಲಭಿಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಡೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳು ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು ಎಂಬುದೂ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ೪ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬೇಕು. ನಮಗೆ ಲಭಿಸಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ‘೦’ ಗಳನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ) ೬, ಅರ್ಥಾತ್ ಇರಬೇಕಾದ್ದಕ್ಕಿಂತ ೨ ಹೆಚ್ಚು! ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಇಂತಿದೆ: ಎಡತುದಿಯಿಂದ ೪ ಅಂಕಿಗಳು ಆದ ನಂತರ ಒಂದು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಹಾಕಿ. ೧೨೩೧.೦೦ ಆಯತಲ್ಲವೇ? ದಶಮಾ>ಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಕೇವಲ ‘೦’ಗಳು ಮಾತ್ರ ಿದ್ದರೆ ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ವಿಷಯ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದೇ ಇದೆ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗಮೂಲ = ೧೨೩೧.
ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಧಿಕ ಅನ್ನಿಸಿತೇ? ಅವು ಯಾತ್ರಿಕವಾಗುವಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದರೆ ಹಾಗನ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಧಾನವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸ ಬೇಕಾದ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಿ. ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಅಡ್ಡಸಾಲು, ಶೇಷಗಳು ಇರುವ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುವ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಈ ಮೂರು ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆದರೆ ಸಾಕು ಅನ್ನುವಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸಮಾಡಿ. ನಿಮಗೆ ನೆರವು ನೀಡಲೋಸುಗ ಮುಂದೆ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನಿಜವಾಗಿ ಇರಬೇಕಾದ್ದಕ್ಕಿಂತ ತುಸು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಿ ಬರೆಯಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭ ಉದ್ಭವಿಸಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೂ ಇವೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಅಂದ ಹಾಗೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಎಲ್ಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನೇ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಸೂಚಿಸಿದ ತಂತ್ರ ವಿವರಿಸುವಾಗಲೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೆ. ಎರಡೂ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತುಲನೆ ಮಾಡಿ ನಿಮಗೆ ಸುಲಭ ಅನ್ನಿಸಿದ್ದನ್ನು ನೀವು ಉಪಯೋಗಿಸಿ. (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೫).
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಇನ್ನಷ್ಷು ಕುತೂಹಲಜನಕ ಉಪಯೋಗಗಳು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ
ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ ವಿಧಾನ ತಿಳಿಯುವ ಮುನ್ನ ‘ದ್ವಂದ್ವ -ಯೋಗ’ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯಲೇಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜೋಡುಸಂಖ್ಯೆ ಅನ್ನಬಹುದಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇದು.
ಈ ಮುಂದಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮನೋಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.
* ಒಂದು ಅಂಕಿಯುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ: ೮ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೮೨ = ೬೪. ೨ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨೨ = ೪.
* ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡರಷ್ಟರ ಮೊತ್ತ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ.
ಉದಾಹರಣೆ (ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿವೆ): ೪೮ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೪ x ೮ = ೬೪. ೩೫ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೩ x ೫ = ೩೦. ೧೨೩೪ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨ x ೧ x ೪) + (೨ x ೨ x ೩) = ೨೦. ೫೩೫೦ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨ x ೫ x ೦) + (೨ x ೩ x ೫) = ೩೦. ೩೨೪೦೩೬ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨ x ೩ x ೬) + (೨ x ೨ x ೩) + (೨ x ೪ x ೦) = ೪೮.
* ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಯ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡರಷ್ಟರ ಮೊತ್ತ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ.
ಉದಾಹರಣೆ (ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿವೆ): ೧೨೩ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨೨) + (೨ x ೧ x ೩) = ೧೦. ೧೨೩೪೫ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೩೨) + (೨ x ೧ x ೫) + (೨ x ೨ x ೪) = ೩೫.
ಈ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆಯೊಂದಿಗೆ ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸಲು ಆರಂಭಿಸಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗೆ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಹಿಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಂತೆ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ೯ ಕ್ಕೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಸಲ ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಲೂ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೫). ನಿಮ್ಮ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಸುದೀರ್ಘ ವಿವರಣೆ ಸಹಿತವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
(೧) ಈ ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡೆರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.
(೨) ಎಡ ತುದಿಯ ಮೊದಲನೇ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆದು ಅದರ ಮುಂದೊಂದು ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆ ಹಾಕಿ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೧). ತದನಂತರ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತುಸು ಹರಡಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೂ ೪ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಬರೆಯುವಷ್ಟು ಸ್ಥಳ ಖಾಲಿ ಬಿಟ್ಟು ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಲಭಿಸುವ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳೇ ಈ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಅಂಕಿಗಳು. ಇವೇ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅಂಕಿಗಳು. ದ್ವಂದ್ವ ಐಓಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಕಿಗಳು ಇವೇ ಆಗಿವೆ.
(೩) ಎಡ ತುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಅರ್ಥಾತ್ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದೂ ೧). ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದೂ ೧) ಆ ಗುಂಪಿನ ನೇರದಲ್ಲಿಯೇ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದು ಅದರ ಮುಂದೊಂದು ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯಾಗಿದ್ದರೂ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಕೂಡದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಈ ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿದೆ. ಇಂತು ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೨) ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲಿನ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಭಾಜಕ ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ಭಾಜಕ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಎಡ ತುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಅರ್ಥಾತ್ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಅದನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೇ ಕಳೆದು ಉಳಿದ ಶೇಷವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೦) ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಬಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತುಸು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದರ ಮುಂದೆ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ೦೫). ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಮುಂದಿನ ಹಂತದ ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ.
(೪) ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ, ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅಂಕಿಯೂ ಇಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ೦. ಎಲ್ಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಇದು ಮಾತ್ರ ೦ ಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ). ಹಿಂದಿನಹಂತದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಈ ದ್ವಂದ್ವ ಯೋಗವನ್ನು ಕಳೆದು ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ನೇರದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದೇ ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೦೫-೦೦=೦೫), ಈ ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಭಾಜಕದಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೨) ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೨) ಅದೇ ನೇರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಅಭ್ಯಾಸವಾಗುವ ವರೆಗೆ ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೦೪). ಶೇಷವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧) ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಎಡ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತುಸು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದರಿಂದ ಉಂಟಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧೧) ಮುಂದಿನ ಹಂತದ ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ.
ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಅಂಕಿಗಳು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ತನಕ ಈ ಹಂತವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ ಮುಂದೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ ಅಧ್ಯಯಿಸಿ.
(೫) * ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೧೧, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸ ಬೇಕು. ಹಾಲಿ ಅಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ:೨. ಆದ್ದರಿಂದ) = ೨೨ = ೪. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೧೧-೪ = ೭.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೩, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೬, ಶೇಷ ೧. ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸಿದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೧೫, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩. ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = ೨ x ೨ x ೩ = ೧೨. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೧೫-೧೨ = ೩.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೧, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೨, ಶೇಷ ೧.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೧೩, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩, ೧ . ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩೧ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = (೨ x ೨ x ೧) + ೩೨ = ೧೩. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೧೩-೧೩ = ೦. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೦, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೦, ಶೇಷ ೦.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೦೬, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩, ೧, ೦. ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩೧೦ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = (೨ x ೨ x ೦) + (೨ x ೩ x ೧) = ೬. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೦೬-೬ = ೦.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೦, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೦, ಶೇಷ ೦.
* ಸ್ಥೂಲ ಭಾಜ್ಯ = ೦೧, ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ (ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು:೨, ೩, ೧, ೦, ೦. ಆದ್ದರಿಂದ ೨೩೧೦೦ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ) = (೨ x ೨ x ೦) + (೨ x ೩ x ೦) + ೧೨ = ೧. ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯ = ೦೧-೧ = ೦.. ಇದನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೦, ನಿವ್ವಳ ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದದ್ದು ೦, ಶೇಷ ೦.
ಗಮನಿಸಿ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಉಳಿಯುವ ಶೇಷ ೦. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ.
(೬) ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಳಿಸಿದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಇವು: ೧೨೩೧೦೦. ಆರಂಬದಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡೆರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಆಗ ಲಭಿಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಡೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳು ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು ಎಂಬುದೂ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ೪ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬೇಕು. ನಮಗೆ ಲಭಿಸಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ‘೦’ ಗಳನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ) ೬, ಅರ್ಥಾತ್ ಇರಬೇಕಾದ್ದಕ್ಕಿಂತ ೨ ಹೆಚ್ಚು! ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಇಂತಿದೆ: ಎಡತುದಿಯಿಂದ ೪ ಅಂಕಿಗಳು ಆದ ನಂತರ ಒಂದು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಹಾಕಿ. ೧೨೩೧.೦೦ ಆಯತಲ್ಲವೇ? ದಶಮಾ>ಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಕೇವಲ ‘೦’ಗಳು ಮಾತ್ರ ಿದ್ದರೆ ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ವಿಷಯ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದೇ ಇದೆ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗಮೂಲ = ೧೨೩೧.
ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಧಿಕ ಅನ್ನಿಸಿತೇ? ಅವು ಯಾತ್ರಿಕವಾಗುವಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದರೆ ಹಾಗನ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಧಾನವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸ ಬೇಕಾದ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಿ. ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಅಡ್ಡಸಾಲು, ಶೇಷಗಳು ಇರುವ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುವ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಈ ಮೂರು ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆದರೆ ಸಾಕು ಅನ್ನುವಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸಮಾಡಿ. ನಿಮಗೆ ನೆರವು ನೀಡಲೋಸುಗ ಮುಂದೆ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನಿಜವಾಗಿ ಇರಬೇಕಾದ್ದಕ್ಕಿಂತ ತುಸು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಿ ಬರೆಯಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭ ಉದ್ಭವಿಸಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೂ ಇವೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಅಂದ ಹಾಗೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಎಲ್ಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನೇ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಸೂಚಿಸಿದ ತಂತ್ರ ವಿವರಿಸುವಾಗಲೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೆ. ಎರಡೂ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತುಲನೆ ಮಾಡಿ ನಿಮಗೆ ಸುಲಭ ಅನ್ನಿಸಿದ್ದನ್ನು ನೀವು ಉಪಯೋಗಿಸಿ. (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೫).
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಇನ್ನಷ್ಷು ಕುತೂಹಲಜನಕ ಉಪಯೋಗಗಳು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ
No comments:
Post a Comment