ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೪

೪. ಗುಣಾಕಾರ, ವೇದಗಣಿತ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಶ್ರೀ ಭಾರತೀ ಕೃಷ್ಣ ತೀರ್ಥರು ರಚಿಸಿದ ‘ವೇದಗಣಿತ’ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಧಾನಗಳು ಆಳವಾದ ಗಣಿತೀಯ ಜ್ಞಾನ ಉಳ್ಳವರು ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ ಅನ್ನುವದರಲ್ಲಿ ಸಂಶಯ ಇಲ್ಲವಾದರೂ ವೇದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಇದು ತಿಳಿದಿತ್ತೆಂಬುದಕ್ಕೆ ಪ್ರಬಲ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇರಲಿ ಸೂಚಿತ ವಿಧಾನಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನೂ ಅವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಾಧಾರಿತವಾಗಿರುವುದನ್ನೂ ಯಾರೂ ಅಲ್ಲಗಳೆಯುವಂತಿಲ್ಲ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಸೂಚಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದಲೂ ಈ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊರಸೆಳೆಯಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನದಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಮುಂದಿನ ಕೆಲವು ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅಂದ ಹಾಗೆ ‘ಸ್ಪೀಡ್ ಮ್ಯಾತ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್’ ‘ಮೆಂಟಲ್ ಮ್ಯಾತ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್’ ‘ವೇದಿಕ್ ಮ್ಯಾತ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್’ ಮುಂತಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಶುಲ್ಕ ವಿಧಿಸಿ ತರಬೇತಿ ನೀಡುವ ಸಂಸ್ತೆಗಳು/ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇವನ್ನೇ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. [ಗಮನಿಸಿ: ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವಾಗ ಇಡೀ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಬಲು ಉದ್ದದ್ದಾಗಿ ತೋರಿದರೂ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದರೆ, ಶಿಕ್ಷಕರ ಮುಖೇನ ಕಲಿತರೆ ಬಲು ಪುಟ್ಟದಾಗಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ವಿವರಿಸಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪೂರಣವಾಗಿ ಅಥವ ಭಾಗಶಃ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಿ ನೇರವಾಗಿ ಉತ್ತರ ಬರಯಬಹುದು]

‘ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡವಾಗಿ’ ವಿಧಾನ: ಬಲು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾದ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಕಲಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ೨ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಮುಂದಿನ ಕಂತುಗಳಲ್ಲಿ ೩/೪/೫/--- ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ ೧: ೮೬ x ೩೭ = ?

ಹಂತ ೧: ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಅಂಕಿಗಳ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬರೆದು ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಅದಲುಬದಲು ಮಾಡಿದರೂ ಗುಣಲಬ್ಧ ಬದಲಾಗದೇ ಇರುವುದರಿಂದ (೮೬ x ೩೭ = ೩೭ x ೮೬, ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು)  ಯಾವುದನ್ನು ಬೇಕಾದರೂ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಬಹುದು.


ಹಂತ ೨: ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ (ಉದಾ: ೬ x ೭)  ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (ಉದಾ:೪೨) ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಗಳ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಗುಣಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳು ಇದ್ದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿ ಈ ಗುಣಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಇದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಕಿ ಮಾತ್ರ ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಬರೆಯಲು ಸೂಚಿಸಿದೆ. ಬರೆದದ್ದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುಟ್ಟ ಲಂಬರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ ೩: ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ (ಉದಾ: ೮ x ೭ = ೫೬) ಕೆಳಗೆ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು  ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (ಉದಾ: ೩ x ೬ = ೧೮) ಕೂಡಿಸಿ (ಉದಾ: ೫೬+೧೮= ೭೪) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಮೊದಲು ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಮುನ್ನವೇ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು

ಹಂತ ೪: ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ (ಉದಾ: ೮ x ೩ = ೨೪) ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದದಲ್ಲಿ ಸಹಸ್ರಸ್ಥಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಾನ ಇರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದಲೂ ಅಂತಿಮ ಹಂತದ ಹಿಂದಿನ ಹಂತವಾದ್ದರಿಂದಲೂ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಹಂತ ೫: ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಹಂತ ಇದು. (ಅ) ಹಂತ ೨ ನಲ್ಲಿ ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕಿ ಇದ್ದರೆ ಅದೇ ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಿದ್ದರೆ (ಉದಾ: ೪೨) ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ (ಉದಾ: ೨) ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಬರೆಯಿರಿ. (ಆ) ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯನ್ನು (ಉದಾ: ೪, ಅಂಕಿ ಇಲ್ಲದೇ ಇದ್ದರೆ ೦ ಇದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ) ಹಂತ ೩ ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಉದಾ: ೭೪) ಸೇರಿಸಿ (ಉದಾ: ೭೪ + ೪ = ೭೮). ಇಂತು ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕಿ ಇದ್ದರೆ ಅದೇ ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಿದ್ದರೆ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ (ಉದಾ: ೮) ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಇದನ್ನು ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. (ಇ) ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯನ್ನು  (ಉದಾ: ೭, ಅಂಕಿ ಇಲ್ಲದೇ ಇದ್ದರೆ ೦ ಇದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ) ಹಂತ ೪ ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಉದಾ: ೨೪) ಸೇರಿಸಿ (ಉದಾ: ೨೪ + ೭ = ೩೧). ಇಂತು ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧದ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಇಂತು ಮಾಡಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಅಂತಿಮ ಗುಣಲಬ್ಧ (ಉದಾ: ೩೧೮೨).

ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ಮನೋಗತವಾಗುವಷ್ಟು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದ ಬಳಿಕ ಅವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಿ ಅಥವ ಭಾಗಶಃ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಒಂದು ಕಾಗದದ ಚೂರಿನಲ್ಲಿ ಬರೆದುಕೊಂಡು ನೇರವಾಗಿ ಉತ್ತರ ಬರೆಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ. (ನಾನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಬಲ್ಲೆ. ನೀವೂ ಮಾಡಬಲ್ಲಿರಿ, ತುಸು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದರೆ. ಆಗದಿದ್ದರೆ ಚಿಂತೆ ಬೇಡ, ಒಂದೆಡೆ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದದ್ದನ್ನು ಬರೆದುಕೊಂಡು ಮಾಡಿ) ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ನೋಡಿ:



ಈ ಮುಂದೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದೇನೆ. ಅವನ್ನು ನೀವೇ ಸ್ವತಃ ಮಾಡಿ ನೋಡಿ.



 ಈ ತಂತ್ರದ ಹಿಂದಿನ ಮರ್ಮವೇನೆಂಬುದರ ವಿವರಣೆ ಶ್ರೀಸಾಮಾನ್ಯನಿಗೆ ಬೇಡವಾದರೂ ಗಣಿತಕೋವಿದರಿಗಾಗಿ ವಿವರಣೆರಹಿತವಾದ ಅತೀ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸುಳಿವು ಕೊಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.



ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇನೆ. ತದನಂತರ ೩/೪/೫/--- ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ತಂತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.