ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೧೭

೧೭ ಭಾಗಾಕಾರ (ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)

ವಿಧಾನ ೩: ಭಾಜಕವು ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವುಗಳಿಗಿಂತ ತುಸು ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಬದಲಾವಣೆಗಳೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದರೂ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಯುತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ ತುಸು ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ನಬಹುದಾದಷ್ಟು ವಿವರಣೆ ಸಹಿತವಾದ ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಭಾಜಕ ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವುಗಳಿಗಿಂತ ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಅದನ್ನು ಬರೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ವಿಧಾನ ಗಮನಿಸಿ.



ಹಂತ ೧: ಅಗತ್ಯವಾದ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ



ಹಂತ ೨: ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಭಾಜ್ಯದ ಎಡತುದಿಯ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗೆ ‘೦’ ಬರೆಯಿರಿ. ಭಾಜ್ಯದ ಎಡತುದಿಯ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ನೀವು ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪೂರಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ  ದೊರೆತ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಗಳ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಗುಣಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಿದ್ದರೆ ಈ ಹಿಂದೆ ಸೂಚಿಸಿದ್ದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಬರೆಯಬೇಕು. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾಗಲೂ ಕೂಡಿಸುವಾಗಲೂ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ಅಗತ್ಯ.



ಹಂತ ೩: ಹಂತ ೨ ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ದಾಟಿದವರಿಗೆ ಈ ಮೂರರ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಸನ್ನಿವೇಶ ಎದುರಾಗಬಹುದು: (೧) ನೀಟಗೆರೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಭಾಜ್ಯದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದ್ದದ್ದೇ ಒಂದು ಆಂಕಿ. ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ - ಪ್ರತೀ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷ ಪಡೆಯಿರಿ. (೨) ನೀಟಗೆರೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಭಾಜ್ಯದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದ್ದದ್ದೇ ಎರಡು ಆಂಕಿಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ಶೇಷ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಪೈಕಿ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗೆ ಏನು ಬರೆಯಬೇಕೆಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಭಾಜ್ಯದ ಭಾಗದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಪೂರಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ದೊರೆತ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಶೇಷ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಪೂರಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ದೊರೆತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಶೇಷ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಯಾವ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಅದರ ಮುಂದೆ ಎಷ್ಟು ‘೦’ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. (ಉದಾ: ಮೂರು ಅಂಕಿಗಳಿದ್ದರೆ ಅಂಕಿಗಳಿದ್ದರೆ ಮೊದಲನೆಯ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಅದರ ಮುಂದೆ  ಎರಡು ‘೦’ ಗಳನ್ನೂ ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಒಂದು ‘೦’ಯನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿ ಬರೆಯಬೇಕು) ಈ ಗುಣಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಇರುವಷ್ಟೂ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲಿಯೇ ಬರೆಯಬೇಕು.. ತದನಂತರ ಪ್ರತೀ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷ ಪಡೆಯಿರಿ. ಶೇಷವು ಭಾಜಕಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂಬುದು ತಿಳಿದಿದೆಯಷ್ಟೆ?



(೩) ನೀಟಗೆರೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳು ಇದ್ದರೆ ಭಾಜ್ಯದ ಭಾಗದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಪೂರಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ದೊರೆತ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಗಳ ಕೆಳಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಭಾಜ್ಯದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಪೂರಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಶೇಷಬರೆಯುವ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕಾಗುವುದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ (ಇದನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (೨)ನೆಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿದೆ).



ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೀಲಾವತೀ ಮತ್ತು ವೇದಗಣಿತ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತೀಯ ಮೂಲಭೂತ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೂಚಿಸಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಇವನ್ನು ಮನೋಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡು ಸಾಧ್ಯವಿರುವಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೇ ಮಾಡಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದರೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವೇಗವಾಗಿಯೂ ನಿಖರವಾಗಿಯೂ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವರೆಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ನಿತ್ತಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದಾದ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿ ಈ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದೆ. ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಿಂದ ಅವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.