ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೯

೯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗ ಲೆಕ್ಕಿಸುವಿಕೆ

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ.  ಅಂದ ಮೇಲೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ‘ಲೀಲಾವತೀ’ನಲ್ಲಿ ಅಥವ ‘ವೇದಗಣಿತ’ದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದ ಗುಣಾಕಾರದ ತಂತ್ರಗಳ ಪೈಕಿ ಯುಕ್ತವಾದದ್ದನ್ನು ಆಯ್ದು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ. ವಿಷಯ ಇಷ್ಟೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಲೇಖನ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿಯೇ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ವರ್ಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ನೆರವಾಗುವ ಮೂರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕುತೂಹಲಕಾರೀ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ವಿಧಾನ ೧:

ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ಸುದೀರ್ಘವಾದ ವಿಧಾನದಂತೆ ಗೋಚರಿಸುವ ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದದ್ದು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ವೇಗವಾಗಿ ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದದ್ದು, ಬಲು ಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಅಭ್ಯಸಿಸಿದರೆ. ಎಂದೇ, ನೀಡಿರುವ ುದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಲು ಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ನಿಮಗ, ಅರ್ಥವಾಗಲಿ ಎಂಬುದಕ್ಕೋಸ್ಕರ ಅಡ್ಡಗೆರೆಗಳನ್ನೂ ನೀಟಗೆರೆಗಳನ್ನೂ ಎಳೆದಿದೆ. ತಂತ್ರ ಕರಗತವಾದ ನಂತರ ಅವುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಹಂತ ೧: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆದು, ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ನೀಟ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.



ಹಂತ ೨: ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದ ತುಟ್ಟತುದಿಯ ಅಂಕಿಯ ವರ್ಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ವರ್ಗದ ಬಲತುದಿಯ ಅಂಕಿಯು ಆ ಅಂಕಿಯ ಮೇಲೆ ಅದೇ ನೇರದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ.



ಹಂತ ೩: ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದ ತುಟ್ಟತುದಿಯ ಅಂಕಿಯ ಎರಡರಷ್ಟರಿಂದ ತದನಂತರದ ಪ್ರತೀ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಬಲತುದಿಯ ಅಂಕಿಯು ಆಯಾ ಅಂಕಿಯ ಮೇಲೆ ಅದದೇ ನೇರದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಡ್ಡ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.



ಹಂತ ೪: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಬರೆದಿದ್ದ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಬಲಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದ ತುಟ್ಟತುದಿಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊಡೆದು ಹಾಕಿ. ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಹಂತ ೨ ಮತ್ತು ೩ ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.



ಹಂತ ೫: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಬಾರಿ ಬರೆದಿದ್ದ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಬಲಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದ ತುಟ್ಟತುದಿಯ ೨ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಡೆದು ಹಾಕಿ (ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಡೆದು ಹಾಕಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು). ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಹಂತ ೨ ಮತ್ತು ೩ ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.



ಉದಾಹರಣೆ ೧ ರಲ್ಲಿ ಹಂತ ೩ ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಜರಗಿಸಲು ಅಂಕಿಗಳೇ ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಇದೇ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುವ ಹಂತದ ಹಿಂದಿನ ಹಂತವೂ ಆಗಿದೆ. ಎಂದೇ ಈ ಹಂತದ ನಂತರ ಕನೆಯ ಹಂತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಜರಗಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ ೨ ರಲ್ಲಿ ಹಂತ ೩ ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಜರಗಿಸಿ.

ಹಂತ ೬: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರನೇ ಬಾರಿ ಬರೆದಿದ್ದ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಬಲಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಭಾಗದ ತುಟ್ಟತುದಿಯ ೩ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಡೆದು ಹಾಕಿ (ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಡೆದು ಹಾಕಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು).. ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಹಂತ ೨ ಮತ್ತು ೩ ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಂಪುರ್ಣವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಬಲಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವಿಕೆ, ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಡೆದು ಹಾಕಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊಡೆದು ಹಾಕುವಿಕೆ,  ಹಂತ ೨ ಮತ್ತು ೩ ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಜರಗಿಸುವಿಕೆ ಇವನ್ನು ಹಂತ ೩ ರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಜರಗಿಸಲು ಅಂಕಿಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ ಅನ್ನುವ ತನಕ ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು



ಅಂತಿಮ ಹಂತ: ಒಂದು ನೀಟಸಾಲು ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಬಲತುದಿಯ ನೀಟಸಾಲು ಏಕಸ್ಥಾನವನ್ನು, ಅದರ ಹಿಂದಿನದ್ದು ದಶಸ್ಥಾನವನ್ನು -----). ಸಂಕಲನ ನಿಯಮಾನುಸಾರ ಬಲತುದಿಯ ನೀಟಸಾಲಿನಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಪ್ರತೀ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಲಭಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ.



ವಿಧಾನ ೨

ಇರುವಂತೆಯೇ ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತುಸು ಕಷ್ಟ ಅನ್ನಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಗುಣಿಸಿ ವರ್ಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸ ಬಹುದಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ. ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಗುಣಿಸಿ ವರ್ಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿ, ಪ್ರತೀ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬರೆದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಿಸಿದ ಮೂರೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ೧: ೩೦೭^೨ = ?

೩೦೭ = ೩೦೦ + ೭

೩೦೦^೨           = ೯೦೦೦೦

೭^೨            =      ೪೯

೨ x ೩೦೦ x ೭ =   ೪೨೦೦ 

ಮೊತ್ತ       =  ೯೪೨೪೯

ಉದಾಹರಣೆ 3: ೧೦೦೨೫^೨ = ?

೧೦೦೨೫ = ೧೦೦೦೦ + ೨೫

೧೦೦೦೦^೨             = ೧೦೦೦೦೦೦೦೦

೨೫^೨                =            ೬೨೫

೨ x೧೦೦೦೦ x ೨೫ =       ೫೦೦೦೦೦ 

ಮೊತ್ತ                = ೧೦೦೫೦೦೬೨೫

ವಿಧಾನ ೩

ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಗುಣಿಸಿ ವರ್ಗ ಹೇಳಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅಥವ ಅದರಿಂದ ಕಳೆದರೆ ೧೦೦ ರ ಒಳಗಿನ ೧೦ ರ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು, ಅಥವ ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವುಗಳ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು ಲಭಿಸುವಂತಿದ್ದರೆ ಈ ವಿಧಾನ ಉತ್ತಮ. ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು:

ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅದೇ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆದಾಗ ಲಭಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಲಭಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗ,

ಉದಾಹರಣೆ ೧: ೪೯೭^೨=?

೪೯೭ + ೩ = ೫೦೦.  ೪೯೭ - ೩ = ೪೯೪

೫೦೦ x ೪೯೪ = ೨೪೭೦೦೦, ೩^೨ = ೯

೨೪೭೦೦೦ = ೯ = ೨೪೭೦೦೯

ಉದಾಹರಣೆ ೨: ೨೦೨೫^೨=?

೨೦೨೫-೨೫=೨೦೦೦, ೨೦೨೫+೨೫=೨೦೫೦

೨೦೦೦ x  ೨೦೫೦ = ೪೧೦೦೦೦೦, ೨೫^೨=೬೨೫

೪೧೦೦೦೦೦+೨೫= ೪೧೦೦೬೨೫

ಗಣಿತ ಕೋವಿದರ ಕುತೂಹಲ ತಣಿಸಲೋಸುಗ ಈ ಮಾಹಿತಿ:

ವಿಧಾನ ೧ - (a+b+c+---)² ಅಧಾರಿತ

ವಿಧಾನ ೨ - (a+b)² ಅಧಾರಿತ

ವಿಧಾನ ೨ - (a+b)(a-b) ಅಧಾರಿತ

ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಮನೋಗತವಾಗಿವೆಯೇ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲೋಸುಗ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ನೀಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಂತಿದೆ:

“ಓ ಸಖನೇ, ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ ನಿನಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ೯, ೧೪, ೨೯೭, ೧೦೦೫ ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಎಷ್ಟೆಂಬುದನ್ನು ಹೇಳು”

ಮುಂದೆ ಬರಲಿದೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂದಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿ.