೮ ಗುಣಾಕಾರ, ವೇದಗಣಿತ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು (ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)
ತಲಾ ಮೂರು ಅಥವ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳಿದ್ದಾಗ ಮಾಲಿಕೆಯ ೬ ನೆಯ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗ.
೬ ನೆಯ ಕಂತಿನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ೧೦ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಆಗಿರುವಂಥ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೆವು. ಮೂರು ಅಥವ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಥವ ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವುಗಳ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಈ ತಂತ್ರಾನುಸರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮಾರ್ಪಾಟುಗಳೇನು? ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಅಪವರ್ತ್ಯದ ಆಧಾರ ೧೦ ಆಗಿದ್ದಾಗ ೧೦ ರಿಂದಲೂ, ೧೦೦ ಆಗಿದ್ದಾಗ ೧೦೦ ರಿಂದಲೂ ಲಂಬರೇಖೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಲೋಸುಗ ಗುಣಿಸಿದ್ದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಅಪವರ್ತ್ಯದ ಆಧಾರ ೧೦೦೦ ಆಗಿದ್ದರೆ ೧೦೦೦ ದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಲ್ಲವೆ?
ಇಂದು ಈ ಎಲ್ಲ ತಂತ್ರಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕುರಿತು ತೀರ್ಮಾನಿಸುವ ಮುನ್ನ ನೀವು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನುಮೆಲುಕು ಹಾಕುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಅವು ಇಂತಿವೆ:
ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡವು ಆಗಿದ್ದರೂ ಕ್ಷಣಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಅವನ್ನು ಮಾಡಬಲ್ಲ ಮಾಂತ್ರಿಕ ವಿಧಾನ ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಿಕರ ಹತ್ತಿರ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಇಂದಿನಂತೆ ಗಣಕಯಂತ್ರಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದ ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೋಕ್ತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಅವರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಿರುಹಾದಿ ಇಲ್ಲ, ಅನೇಕವಿವೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ ವಿಷಯ. ಮಾಡಬೇಕಾದ ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪ ಇವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲಭ್ಯವಿದ್ದ ಕಿರುಹಾದಿಗಳ ಪೈಕಿ ಯುಕ್ತವಾದದ್ದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಬೇಕು. ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞಾನ ಇಲ್ಲದವರೂ ಈ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿದರೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದರಿಂದ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞಾನ ಇಲ್ಲದವರಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಣಕಗಳ ನೆರವು ಇಲ್ಲದೆ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನೂ ಮಾಡಲಾಗದ ಸ್ಥಿತಿ ತಲುಪಿರುವ ಇಂದಿನ ಅನೇಕರಿಗೆ ಇವು ‘ಅದ್ಭುತ’ ಅನ್ನಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇಂದಿನವರ ಈ ಮನಸ್ಥಿತಿಯ ಲಾಭ ಪಡೆದು ಪೂರ್ವಿಕರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ್ದ ಗಣಿತೀಯ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದರಿಂದ ಆಗುವ ‘ಕಲ್ಪಿತ ಲಾಭಗಳ’ ವರ್ಣರಂಜಿತ ವರ್ಣನೆ ನೀಡಿ ಅವನ್ನು ಕಲಿಸುವುದನ್ನೇ ಜೀವನೋಪಾಯವಾಗಿ ಮಾಡಿಕೊಂಡವರ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಬಲು ದೊಡ್ಡದಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಗಣಕಗಳು ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಇದ್ದರೂ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಈ ತಂತ್ರಗಳು ನೆರವು ನೀಡುವುದರಿಂದ ಿವನ್ನು ಕಲಿಯುವದು ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆ ನನ್ನದು. ಭಾರತದ ಮೇಲೆ ಧಾಳಿ ಮಾಡಿದ ಪರಕೀಯರು ಇಲ್ಲಿನ ಜ್ಞಾನಸಂಚಯವನ್ನೂ ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನೂ ಜ್ಞಾನಸಂಚಯಮಾಡುತ್ತಿದ್ದವರನ್ನೂ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ನಾಶಪಡಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ವಿಕರ ಜ್ಞಾನಸಂಚಯ ಮುಂದಿನ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಗಲೂ ಇಲ್ಲ, ವಿಕಸಿಸಲೂ ಇಲ್ಲ. ಒಂದುವೇಳೆ ಆಗಿದ್ದಿದ್ದರೆ ವಿಶ್ವಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಭಾರತವನ್ನು ಮೀರಿಸಬಲ್ಲ ರಾಷ್ಟ್ರ ಇರುತ್ತಲೇ ಇರಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ನನ್ನ ಖಾಸಗಿ ಅಭಿಪ್ರಾಯ.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇನೆ.
ತಲಾ ಮೂರು ಅಥವ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳಿದ್ದಾಗ ಮಾಲಿಕೆಯ ೬ ನೆಯ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗ.
೬ ನೆಯ ಕಂತಿನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ೧೦ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಆಗಿರುವಂಥ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೆವು. ಮೂರು ಅಥವ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಥವ ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವುಗಳ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಈ ತಂತ್ರಾನುಸರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮಾರ್ಪಾಟುಗಳೇನು? ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಅಪವರ್ತ್ಯದ ಆಧಾರ ೧೦ ಆಗಿದ್ದಾಗ ೧೦ ರಿಂದಲೂ, ೧೦೦ ಆಗಿದ್ದಾಗ ೧೦೦ ರಿಂದಲೂ ಲಂಬರೇಖೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಲೋಸುಗ ಗುಣಿಸಿದ್ದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಅಪವರ್ತ್ಯದ ಆಧಾರ ೧೦೦೦ ಆಗಿದ್ದರೆ ೧೦೦೦ ದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಲ್ಲವೆ?
ಇಂದು ಈ ಎಲ್ಲ ತಂತ್ರಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕುರಿತು ತೀರ್ಮಾನಿಸುವ ಮುನ್ನ ನೀವು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನುಮೆಲುಕು ಹಾಕುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಅವು ಇಂತಿವೆ:
ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡವು ಆಗಿದ್ದರೂ ಕ್ಷಣಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಅವನ್ನು ಮಾಡಬಲ್ಲ ಮಾಂತ್ರಿಕ ವಿಧಾನ ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಿಕರ ಹತ್ತಿರ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಇಂದಿನಂತೆ ಗಣಕಯಂತ್ರಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದ ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೋಕ್ತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಅವರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಿರುಹಾದಿ ಇಲ್ಲ, ಅನೇಕವಿವೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ ವಿಷಯ. ಮಾಡಬೇಕಾದ ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪ ಇವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲಭ್ಯವಿದ್ದ ಕಿರುಹಾದಿಗಳ ಪೈಕಿ ಯುಕ್ತವಾದದ್ದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಬೇಕು. ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞಾನ ಇಲ್ಲದವರೂ ಈ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿದರೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದರಿಂದ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞಾನ ಇಲ್ಲದವರಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಣಕಗಳ ನೆರವು ಇಲ್ಲದೆ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನೂ ಮಾಡಲಾಗದ ಸ್ಥಿತಿ ತಲುಪಿರುವ ಇಂದಿನ ಅನೇಕರಿಗೆ ಇವು ‘ಅದ್ಭುತ’ ಅನ್ನಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇಂದಿನವರ ಈ ಮನಸ್ಥಿತಿಯ ಲಾಭ ಪಡೆದು ಪೂರ್ವಿಕರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ್ದ ಗಣಿತೀಯ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದರಿಂದ ಆಗುವ ‘ಕಲ್ಪಿತ ಲಾಭಗಳ’ ವರ್ಣರಂಜಿತ ವರ್ಣನೆ ನೀಡಿ ಅವನ್ನು ಕಲಿಸುವುದನ್ನೇ ಜೀವನೋಪಾಯವಾಗಿ ಮಾಡಿಕೊಂಡವರ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಬಲು ದೊಡ್ಡದಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಗಣಕಗಳು ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಇದ್ದರೂ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಈ ತಂತ್ರಗಳು ನೆರವು ನೀಡುವುದರಿಂದ ಿವನ್ನು ಕಲಿಯುವದು ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆ ನನ್ನದು. ಭಾರತದ ಮೇಲೆ ಧಾಳಿ ಮಾಡಿದ ಪರಕೀಯರು ಇಲ್ಲಿನ ಜ್ಞಾನಸಂಚಯವನ್ನೂ ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನೂ ಜ್ಞಾನಸಂಚಯಮಾಡುತ್ತಿದ್ದವರನ್ನೂ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ನಾಶಪಡಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ವಿಕರ ಜ್ಞಾನಸಂಚಯ ಮುಂದಿನ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಗಲೂ ಇಲ್ಲ, ವಿಕಸಿಸಲೂ ಇಲ್ಲ. ಒಂದುವೇಳೆ ಆಗಿದ್ದಿದ್ದರೆ ವಿಶ್ವಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಭಾರತವನ್ನು ಮೀರಿಸಬಲ್ಲ ರಾಷ್ಟ್ರ ಇರುತ್ತಲೇ ಇರಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ನನ್ನ ಖಾಸಗಿ ಅಭಿಪ್ರಾಯ.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಿರುಹಾದಿಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇನೆ.
1 comment:
ಗೋವಿಂದ ಸರ್, ಇದೀಗ ಸರಕಾರ ಎಂಟನೆಯ ತರಗತಿಗೆ ಅಳವಡಿತ ಪರಿಷ್ಕೃತ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ತಾವು ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಕ್ರಮದಿಂದಲೇ ಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಮೊದಲು ನನಗೆ ಅರ್ಥವಾಗಲು ಸಮಯ ಹಿಡಿದರೂ ಇದೀಗ ಇದೇ ಕ್ರಮ ತುಂಬಾ ಇಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
Post a Comment