೨೮ . ವರ್ಗ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗದ ಉಪಯೋಗ (ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)
ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸ ಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಅಂದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಬಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೂ ನೆರವು ನೀಡಲೇ ಬೇಕಲ್ಲವೇ?
ಈ ಹಿಂದೆ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದ್ದ ಲೇಖನಗಳ ಪೈಕಿ ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೪ ಮತ್ತು ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೭ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ರೂಪಾಂತರದಂತೆ ಗೋಚರಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ? ತಂತ್ರ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಹೇಗೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ನೆರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೭ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ತುಸು ಬದಲಿಸಿ ಮಾಮೂಲು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಯೋಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಹಿಂದಿನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ ಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಅಭ್ಯಸಿಸಿ.
೩೪೪೫೬೮ x ೮೭೯೦೧೨ =? ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಆರು ಅಂಕಿಗಳಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಒಂದು ವೇಳೆ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಕಮ್ಮಿ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡತುದಿಯಲ್ಲಿ ಅವಶ್ಯವಿರುವಷ್ಟು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿ ಸಮ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ). ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ೧೦ ಅಥವ ೧೧ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬೇಕಲ್ಲವೇ? ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು (ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಿದೆ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ತನ್ನ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ) -
(೧) ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ಬರೆದು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಕೆಳಗೆ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಳಗೆ. ದೊಡ್ಡದಾದ ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಆ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಉತ್ತರದ ೧೧ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿಮಾಡಲು ೧೧ ಅಂಕಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಪ್ರತೀ ಅಂಕಣ ಸುಮಾರು ೩ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರೆಯುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲಿ.
(೨) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೮ x ೨ =೧೬.
(೩) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೬ x ೨ + ೮ x ೧ = ೨೦.
(೪) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ (ಆಯ್ದ ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ೧. ೨ --- ಎಂದು ಯಾವ ತುದಿಯಿಂದ ಎಣಿಸಿದರೂ ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲ) ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಮಧ್ಯದ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ಮೂರೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಮೂರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೫ x ೨ + ೦ x ೮ + ೬ x ೧ = ೧೬.
(೫) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಾಲ್ಕು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ನಾಲ್ಕೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪ x ೨ + ೮ x ೯ + ೦ x ೫ + ೬ x ೧ = ೮೬.
(೬) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಐದು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮಧ್ಯದ (ಅರ್ಥಾತ್ ಮೂರನೇ) ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಒಂದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಐದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಇಂತು ದೊರೆತ ಐದೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಐದನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೫ x ೦ + ೪ x ೨ + ೮ x ೭ + ೪ x ೧ + ೬ x ೯ = ೧೨೨
(೭) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಆರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಐದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. . ಇಂತು ದೊರೆತ ಆರೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಆರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೨ + ೮ x ೮ + ೪ x ೧ + ೬ x ೭ + ೪ x ೦ + ೫ x ೯ = ೧೬೧
ಗಮನಿಸಿ: ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ನೀಟಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಂತದಿಂದ ಹಂತಕ್ಕೆ ‘ಒಂದು’ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದ್ದದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತೇನೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ನೀಟಸಾಲುಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ. ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಇದೇ ಕ್ರಮ ಅನುಸರಿಸಬೇಕು. ಇನ್ನು ನೀಟಸಾಲುಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ ಅನ್ನುವ ಹಂತ ತಲುಪಿದರೆ ಒಟ್ಟು ಹಂತಗಳ ಅರ್ಧ ಭಾಗ ಮುಗಿದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಈ ಹಂತ ತಲುಪಿದ ನಂತರ ಬಲತುದಿಯಿಂದ ಹಂತದಿಂದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಂದೊಂದೇ ನೀಟಸಾಲನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು.
(೮) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಐದು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮಧ್ಯದ (ಅರ್ಥಾತ್ ಮೂರನೇ) ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಒಂದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಐದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಇಂತು ದೊರೆತ ಐದೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಏಳನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪ x ೯ + ೩ x ೧ + ೮ x ೬ + ೪ x ೦ + ೫ x ೭ = ೧೨೨
(೯) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ನಾಲ್ಕೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಎಂಟನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೦ + ೮ x ೫ + ೪ x ೭ + ೪ x ೯ = ೧೦೪.
(೧೦) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಮೂರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮಧ್ಯದ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ಮೂರೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಒಂಭತ್ತನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪ x ೭ + ೩ x ೯ + ೪ x ೮ = ೮೭.
(೧೧) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಾಲ್ಕು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಎರಡು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಹತ್ತನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೭ + ೪ x ೮ = ೫೩
(೧೨) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಐದು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೮ =೨೪.
ಗಮನಿಸಿ: ಈ ವರೆಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಾಗಲು ಇನ್ನು ನೀಟಸಾಲುಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ. ಅರ್ಥಾತ್, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಹಂತ ತಲುಪಿದ್ದೇವೆ.
(೧೩) ಬಲತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಅದನ್ನು ಒಂದೆಡೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವನ್ನು ಬಲತುದಿಯಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ. ಈ ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯೇ ಗುಣಲಬ್ಧದ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿ. ಅದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವನ್ನು ಮೂರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ. ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಶತಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಇದೇ ರೀತಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಇತರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನೂ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಬ್ಧ ೩೦೨೮೭೯೪೦೬೮೧೬.
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕುರಿತು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.
ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸ ಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಅಂದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಬಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೂ ನೆರವು ನೀಡಲೇ ಬೇಕಲ್ಲವೇ?
ಈ ಹಿಂದೆ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದ್ದ ಲೇಖನಗಳ ಪೈಕಿ ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೪ ಮತ್ತು ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೭ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ರೂಪಾಂತರದಂತೆ ಗೋಚರಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ? ತಂತ್ರ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಹೇಗೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ನೆರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೭ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ತುಸು ಬದಲಿಸಿ ಮಾಮೂಲು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಯೋಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಹಿಂದಿನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ ಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಅಭ್ಯಸಿಸಿ.
೩೪೪೫೬೮ x ೮೭೯೦೧೨ =? ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಆರು ಅಂಕಿಗಳಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಒಂದು ವೇಳೆ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಕಮ್ಮಿ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡತುದಿಯಲ್ಲಿ ಅವಶ್ಯವಿರುವಷ್ಟು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿ ಸಮ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ). ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ೧೦ ಅಥವ ೧೧ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬೇಕಲ್ಲವೇ? ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು (ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಿದೆ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ತನ್ನ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ) -
(೧) ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ಬರೆದು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಕೆಳಗೆ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಳಗೆ. ದೊಡ್ಡದಾದ ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಆ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಉತ್ತರದ ೧೧ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿಮಾಡಲು ೧೧ ಅಂಕಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಪ್ರತೀ ಅಂಕಣ ಸುಮಾರು ೩ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರೆಯುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲಿ.
(೨) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೮ x ೨ =೧೬.
(೩) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೬ x ೨ + ೮ x ೧ = ೨೦.
(೪) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ (ಆಯ್ದ ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ೧. ೨ --- ಎಂದು ಯಾವ ತುದಿಯಿಂದ ಎಣಿಸಿದರೂ ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲ) ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಮಧ್ಯದ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ಮೂರೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಮೂರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೫ x ೨ + ೦ x ೮ + ೬ x ೧ = ೧೬.
(೫) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಾಲ್ಕು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ನಾಲ್ಕೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪ x ೨ + ೮ x ೯ + ೦ x ೫ + ೬ x ೧ = ೮೬.
(೬) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಐದು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮಧ್ಯದ (ಅರ್ಥಾತ್ ಮೂರನೇ) ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಒಂದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಐದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಇಂತು ದೊರೆತ ಐದೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಐದನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೫ x ೦ + ೪ x ೨ + ೮ x ೭ + ೪ x ೧ + ೬ x ೯ = ೧೨೨
(೭) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಆರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಐದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. . ಇಂತು ದೊರೆತ ಆರೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಆರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೨ + ೮ x ೮ + ೪ x ೧ + ೬ x ೭ + ೪ x ೦ + ೫ x ೯ = ೧೬೧
ಗಮನಿಸಿ: ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ನೀಟಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಂತದಿಂದ ಹಂತಕ್ಕೆ ‘ಒಂದು’ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದ್ದದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತೇನೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ನೀಟಸಾಲುಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ. ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಇದೇ ಕ್ರಮ ಅನುಸರಿಸಬೇಕು. ಇನ್ನು ನೀಟಸಾಲುಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ ಅನ್ನುವ ಹಂತ ತಲುಪಿದರೆ ಒಟ್ಟು ಹಂತಗಳ ಅರ್ಧ ಭಾಗ ಮುಗಿದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಈ ಹಂತ ತಲುಪಿದ ನಂತರ ಬಲತುದಿಯಿಂದ ಹಂತದಿಂದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಂದೊಂದೇ ನೀಟಸಾಲನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು.
(೮) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಐದು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮಧ್ಯದ (ಅರ್ಥಾತ್ ಮೂರನೇ) ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಒಂದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಐದನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಇಂತು ದೊರೆತ ಐದೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಏಳನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪ x ೯ + ೩ x ೧ + ೮ x ೬ + ೪ x ೦ + ೫ x ೭ = ೧೨೨
(೯) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಎರಡನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಆ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ನಾಲ್ಕೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಎಂಟನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೦ + ೮ x ೫ + ೪ x ೭ + ೪ x ೯ = ೧೦೪.
(೧೦) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಮೂರು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮಧ್ಯದ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ತದನಂತರ ಮೊದಲನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಈ ಮೂರೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಒಂಭತ್ತನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪ x ೭ + ೩ x ೯ + ೪ x ೮ = ೮೭.
(೧೧) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಾಲ್ಕು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಎರಡು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಹತ್ತನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೭ + ೪ x ೮ = ೫೩
(೧೨) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಐದು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩ x ೮ =೨೪.
ಗಮನಿಸಿ: ಈ ವರೆಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲು ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಾಗಲು ಇನ್ನು ನೀಟಸಾಲುಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ. ಅರ್ಥಾತ್, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಹಂತ ತಲುಪಿದ್ದೇವೆ.
(೧೩) ಬಲತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಅದನ್ನು ಒಂದೆಡೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವನ್ನು ಬಲತುದಿಯಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ. ಈ ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯೇ ಗುಣಲಬ್ಧದ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿ. ಅದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವನ್ನು ಮೂರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ. ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಶತಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಇದೇ ರೀತಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಇತರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನೂ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಬ್ಧ ೩೦೨೮೭೯೪೦೬೮೧೬.
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕುರಿತು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.
No comments:
Post a Comment