ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೨೩

೨೩ . ವರ್ಗಮೂಲ

ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಕುರಿತಾಗಿ ತಿಳಿದಿರಬೇಕಾದ ವಿಷಯಗಳು:

(೧) ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಎಡಭಾಗದತ್ತ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ವಿಭಾಗಗಳು ಲಭಿಸುತ್ತವೆಯೋ ಅಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳು ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಎಡತುದಿಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಕಿ ಇರುತ್ತದೆ.

(೨) ಎಡತುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗಮೂಲದ ಎಡತುದಿಯ ಅಂಕಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(೨) ೧, ೪, ೯, ೧೬, ೨೫, ೩೬, ೪೯, ೬೪, ೮೧ ಮತ್ತು ೧೦೦ ಇವು ಮೊದಲಿನ ೧೦ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು. ಅಂದ ಮೇಲೆ ೨, ೩, ೭ ಮತ್ತು ೮ ಈ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಇಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ೧ ಇದ್ದರೆ ವರ್ಗಮೂಲದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ೧ ಅಥವ ೯, ೪ ಇದ್ದರೆ ೨ ಅಥವ ೮, ೫ ಇದ್ದರೆ ೫, ೬ ಇದ್ದರೆ ೪ ಅಥವ ೬, ೯ ಇದ್ದರೆ ೩ ಅಥವ ೭, ೦ ಇದ್ದರೆ ೦ ಇರುತ್ತದೆ.

(೩) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ೦ ಗಳನ್ನು ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಉಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆ,  ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ೬ ಮತ್ತು ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಸಮ ಅಂಕಿ ಉಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ೬ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಮತ್ತು ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಅಂಕಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕ ಮತ್ತು ದಶಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಸಮಸಂಖ್ಯೆ - ಇವಕ್ಕೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ.

ಈ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ೨, ೩ ಅಥವ ೪ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಲೂ ಸಾಧ್ಯ. ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವರ್ಗಮೂಲ ಸರಿಯಾದದ್ದೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ವೀಕ್ಣೆಯಿಂದ ೂಹಿಸಲೂ ಸಾಧ್ಯ. ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸಿ.



ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರ ಲೀಲಾವತೀಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರ ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ