ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೧೨

೧೨ ಭಾಗಾಕಾರ (ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)

ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ೩ ವಿಧಾನ/ತಂತ್ರಗಳ ಉಲ್ಲೇಖವಿದೆ. ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೂ ಭಾಜಕದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ವೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯ. ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ‘ವಿಚಿತ್ರ’ ಅನ್ನಿಸಬಹುದಾದ ಈ ಎಲ್ಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೆರವಿನಿಂದ ಸರಿಯಾದವು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ವಿಧಾನ ೧, ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡವಾಗಿ ವಿಧಾನ: ನೇರ ಭಾಗಾಕಾರ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿತವಾಗಿರುವ ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭಾಜಕದ ಸ್ವರೂಪ ಏನೇ ಇದ್ದರೂ ನಾವು ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿತದ್ದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವಶ್ಯವಿದ್ದರೆ ಎಷ್ಟು ಬೇಕೋ ಅಷ್ಟು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲಿಷ್ಟತೆಯ ಮಟ್ಟ ಭಾಜಕ ಮತ್ತು ಭಾಜ್ಯಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ೨ ಮತ್ತು ೩ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಭಾಜಕ ಇರುವ ಭಾಗಾಕಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡುವುದು ಬಲು ಅಪರೂಪ ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ.

ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಜರಗಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆಯ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲೋಸುಗ ಮುಂದಿನ ೩ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ‘ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಧ್ವಜಾಂಕ’ ಎಂಬ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಮೊದಲು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಎಷ್ಟೂ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬಹುದು. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವ  ಎರಡು ಅಂಕಿಯನ್ನೂ ಧ್ವಜಾಂಕದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನೂ ಇಡುವುದು ವಾಡಿಕೆ (ಏಕೆ ಎಂಬುದು ಅನುಭವದಿಂದ ನಿಮಗೇ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನೂ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ).

ತದನಂತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಜಕ ಮತ್ತು ಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನೀಟ ಹಾಗೂ ಅಡ್ಡಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನೀಟ ಗೆರೆಯು ಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಧ್ವಜಾಂಕದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳಿವೆಯೋ ಅಷ್ಟೇ ಅಂಕಿಗಳು ಗೆರೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ಶೇಷ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಭಾಗ ಇದು.



ಒಂದು ಅಂಕಿ ಇರುವ ಧ್ವಜಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಾಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲು ಅಭ್ಯಸಿಸೋಣ. ಇಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು.

ಭಾಜ್ಯದ ಎಡ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೊದಲನೇ ೧ ಅಥವ ೨ ಅಥವ ೩ ----- ಅಂಕಿಗಳನ್ನು (ನಿಖರವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಎಂಬುದು ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತದೆ) ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅದರ ನೇರದಲ್ಲಿಯೇ ಬರೆದು ಶೇಷವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ತುಸು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇವನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.



ತದನಂತರ ಧ್ವಜಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಭಾಜ್ಯದ ಒಗ್ಗೂಡಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಲಭಿಸುವ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬರೆದಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಭಾಜ್ಯದ ಎಲ್ಲ ಅಂಕಿಗಳು ಮುಗಿಯುವ ವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿಸಿ.



ನೀಟಗೆರೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ. ನೀಟಗೆರೆಯ ಬಲಭಾಗ ಶೇಷ ಎಷ್ಟು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಭಾಗ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದೆಯಷ್ಟೆ. ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಶೇಷ ಎರಡನ್ನೂ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಧ್ವಜಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನೀಟಗೆರೆಯ ಎಡಪಾರ್ಶ್ಚದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಇದರಿಂದ ಕಳೆದರೆ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಶೇಷ.



ಭಾಜಕ ಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಶೇಷ ಉಳಿಯದಂತೆ ಭಾಗಿಸುವಂತಿದ್ದರೆ? ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ



ಅಂದ ಹಾಗೆ, ಶೇಷ ಎಷ್ಟು ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಬರೆಯುವುದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲೂ ಈ ವಿಧಾನ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ನೀಟಗೆರೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದ ಬಾಜ್ಯದ ಅಂಕಿಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬೇಕಾದರೂ ಸೇರಿಸಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.



ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನೂ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಬಲ್ಲ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ನಿಮಗಿದ್ದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಶೇಷವನ್ನೂ ನೇರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. (ಈ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಹಣ ಗಳಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸುವವರು ಮಾಡುವುದು ಇದನ್ನೇ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ ಅನ್ನಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವೋ ಅಷ್ಟನ್ನು ಮಾಡಿ. ಬರೆದು ಮಾಡಬೇಕು ಅನ್ನಿಸಿದ್ದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮಾಡಿ.

ತುಸು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಗಳು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ---