ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೧೧

೧೧ ಭಾಗಾಕಾರ

ವೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಲು ನೆರವು ನೀಡಬಲ್ಲ ತಂತ್ರಗಳಿವೆಯೇ? ಈ ಕಂತಿನಿಂದ ಮೊದಲ್ಗೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಕೆಲವು ಕಂತುಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವು ಎಷ್ಟರಮಟ್ಟಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ. ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪೈಕಿ ಮದನೆಯ ಮೂರನ್ನು, ಅರ್ಥಾತ್ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡವರಿಗೆ ಭಾಗಾಕಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ, ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದವರಿಗೆ ---.

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ೩ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುವುದು ಬಲು ಅಪರೂಪವಾದ್ದರಿಂದ ನನ್ನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ೧, ೨, ೩ ಅಂಕಿಗಗಳುಳ್ಳ ಬಾಜಕ ಇರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕೊಡುತ್ತೇನೆ. ಉಳಿದವಕ್ಕೂ ಈ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿ ಇರಲಿ.

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರ ಲೀಲಾವತೀ ಗ್ರಂಥದ ೫ ನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯದ ಒಂದು ಪದ್ಯಪಂಕ್ತಿ ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ವಿಧಾನ. ಇದನ್ನು ಪುನಃ ವಿವರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದೇನೆ. ಎರಡನೆಯದು ಭಾಗಾಕಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ (ಗಮನಿಸಿ: ವೇಗವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಲ) ಉಲ್ಲೇಖಾರ್ಹ.

ಭಾಜಕ ಮತ್ತು ಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಉಭಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇವೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಇದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ರದ್ದುಪಡಿಸಿ. ಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ರದ್ದಾಗದೇ ಉಳಿದ ಅಪವರ್ತನದಿಂದ ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ರದ್ದಾಗದೇ ಉಳಿದ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪಡೆಯಿರಿ



ವಿಭಜನೀಯತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅರಿವು ನಿಮಗೆ ಇದ್ದರೆ ಉಭಯಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ೧ ರಿಂದ ೧೧ ರ ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ  ಶೇಷ ುಳಿಯದಂತೆ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ತಿಳಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. (ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆಯೂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಇವೆಯಾದರೂ ಇಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿಲ್ಲ) ಮನೋಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

(೧) ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಸಮಅಂಕಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೧೨೮ ಅನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ೧೨೯ ಅನ್ನು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ)

(೨) ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ೩ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೧೨೧೧೨೩, ೧+೨+೧+೧+೨+೩=೧೨. ೧೨ ಅನ್ನು ೩ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ೧೨೧೧೨೩ ಅನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು)

(೩) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕ ಮತ್ತು ದಶಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೩೫೮೯೧೨. ೧೨ ಅನ್ನು ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ೩೫೮೯೧೨ ಅನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

(೪) ೫ ಅಥವ ೦ ಇಂದ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

(೫) ೨ ಮತ್ತು ೩ ಈ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ೬ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

(೬) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೭ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೪೨೭. ೭ ರ ಎರಡರಷ್ಟು=೧೪. ೪೨-೧೪=೨೮. ೨೮ ಅನ್ನು ೭ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ೪೨೭ ಅನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

(೭) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕ, ದಶ ಮತ್ತು ಶತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೮ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೨೯೩೯೮೪, ೯೮೪ ಅನ್ನು ೮ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ೨೯೩೯೮೪ ಅನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು)

(೮) ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ೩ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೪೩೭೮೫. ೪+೩+೭+೮+೫=೨೭. ೨೭ ಅನ್ನು ೯ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ೪೩೭೮೫ ಅನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು)

(೯) ೦ ಇಂದ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ೧೦ ಇಮದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

(೧೦) ಏಕಸ್ಥಾನದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಲಭಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೧ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೫೪೮೫೭. ೭+೮+೫=೨೦, ೫+೪=೯. ೨೦-೯=೧೧. ಇದನ್ನು ೧೧ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದದ್ದರಿಂದ ೫೪೮೫೭ ಅನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು).

ವೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೇದಗಣಿತ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಿಂದ--