ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೩

೩. ಗುಣಾಕಾರ, ಲೀಲಾವತೀ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು

ನಮ್ಮ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ಪೈಕಿ ೨ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಲೆಕ್ಕ ಎಂಥದ್ದೇ ಆಗಿರಲಿ ಆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸಬೇಕು ಅನ್ನುವುದು ಸರಿ ಅಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗುಣಕದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ವಿಧಾನ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಹೀಗೆ ಮಾಡದೇ ಇರುವುದೇ ಗಣಿತವು ಒಂದು ಕ್ಲಿಷ್ಟ ವಿಷಯ ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಮೂಡಲು ಕಾರಣ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೇ ಎರಡನ್ನು ಮಾತ್ರ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.

‘ಲೀಲಾವತೀ’ಯ ನಾಲ್ಕನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಎರಡೂವರೆ ಪದ್ಯಪಂಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗುಣಕದ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವವರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಆಧರಿಸಿ ವಿಧಾನ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದಾಗಿ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಬೇಕು, ಇದು ನನ್ನ ಅಭಿಮತ. ಈಗ ಆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ

ವಿಧಾನ ೧, ನೇರ ವಿಧಾನ. ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸುಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ‘ನೇರ ವಿಧಾನ’. ಗುಣಕ ೧ ರಿಂದ ೯ ರ ತನಕದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ ಈ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸುವುದೇ ಉತ್ತಮ ಅನ್ನುವುದು ನನ್ನ ಅಭಿಮತ. ೧ ರಿಂದ ೧೦ ರ ತನಕದ ಮಗ್ಗಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಕಂಠಸ್ಥವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಕು. ಇದು ಸಂತೋಷದ ಸುದ್ದಿಯಲ್ಲವೆ? ಈಗಿನಂತೆ ೧ ರಿಂದ ೨೦ ರ ತನಕದ ಮಗ್ಗಿಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಕಂಠಸ್ಥ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ಸುಲಭವಲ್ಲವೆ? ಈ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆ ಅನಗತ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಎಂದೇ, ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇನೆ.



ವಿಧಾನ ೨, ಸ್ಥಾನಬೆಲೆ ವಿಧಾನ. ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ಸುಪರಿಚಿತ ವಿಧಾನ. ಗುಣಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವಂತೆ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆಯೂ ಅನಗತ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಎಂದೇ, ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇನೆ.



೧ ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ  ಮೊದಲು ಗುಣಕದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ ೬ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಗುಣ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಗುಣ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬರೆಯಲಾರಂಭಿಸಿದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತದನಂತರ ಗುಣಕದ ದಶ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ ೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಗುಣ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಗುಣ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬರೆಯಲಾರಂಭಿಸಿದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತದನಂತರ ಈ ಎರಡೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಸಿರುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ?

೨ ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ  ಮೊದಲು ಗುಣಕದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ ೩ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಗುಣ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಗುಣ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬರೆಯಲಾರಂಭಿಸಿದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತದನಂತರ ಗುಣಕದ ದಶ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ ೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಗುಣ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಗುಣ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬರೆಯಲಾರಂಭಿಸಿದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತದನಂತರ ಗುಣಕದ ಶತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ ೮ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಗುಣ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಗುಣ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶತಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬರೆಯಲಾರಂಭಿಸಿದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತದನಂತರ ಈ ಮೂರೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಸಿರುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ?

ಈ ರೀತಿ ಮಾಡುವುದು ಏಕೆಂಬುದನ್ನು ನೀವು ವಿವರಿಸಬಲ್ಲಿರಾದರೆ, ನೀವು ಗಣಿತ ಕೋವಿದರು! ವಿವರಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ವಿಧಾನ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಉತ್ತರ ಹೊಳೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ.

ವಿಧಾನ ೩, ವಿಭಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನ. ವಿಧಾನ ೨ ಕಷ್ಟ ಅನ್ನಿಸಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಅನ್ನಿಸಿದರೆ ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಪೈಕಿ ಇದು ಒಂದನೆಯದ್ದು. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು: ಗುಣಕವನ್ನು ನಮಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗುವಷ್ಟು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಉದಾ: ಗುಣಕ ೨೬ = ೨೦ + ೬, ಗುಣಕ ೮೨೩ = ೮೦೦ + ೨೦ + ೩ (ಹೀಗೆಯೇ ವಿಭಜಿಸ ಬೇಕೆಂಬ ನಿಯಮವಿಲ್ಲ. ೨೬ ಅನ್ನು ೯ + ೯ + ೮ ಎಂದಾಗಲಿ ಅಥವ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಗಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಬಹುದು). ಗುಣ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತೀ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯುಳ್ಳ ಅಂಕಿಗಳು ಒಂದೇನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರುವಂತೆ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೊಂದು ಬರೆಯಿರಿ. ತದನಂತರ ಎಲ್ಲ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ೧೦ ರ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳಿಂದ (ಉದಾ: ೨೦, ೭೦, ೧೦೦ ಇತ್ಯಾದಿ) ಗುಣಿಸುವುದು ಬಲು ಸುಲಭ ಎಂಬುದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿರಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗುಣ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬರೆದು ಅದರ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಸೊನ್ನೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ ೧೦ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತೆಯೂ ಎರಡು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ ೧೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತೆಯೂ ಆಗುತ್ತದಲ್ಲವೇ. ೨೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸ ಬೇಕಾದರೆ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ೧ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನೂ ೮೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ೮ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ೨ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನೂ ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ ಸಾಕು!



ವಿಧಾನ ೩, ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ. ಗುಣಕಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆ: ೧೨೫ = ೫ x ೫ x ೫. ೭೨ = ೬ x ೬ x ೨. ೯೪ = ೪೭ x ೨ ಆ ಅಪವರ್ತನಗಳಿಂದ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಸುಲಭವೇ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಸುಲಭ ಅನ್ನಿಸಿದರೆ ಮೊದಲನೇ ಅಪವರ್ತನದಿಂದ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ. ಈ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಪವರ್ತನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಇಂತು, ಪ್ರತೀ ಬಾರಿ ದೊರೆಯುವ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಮುಂದಿನ ಅಪವರ್ತನದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾ ಮುಂದುವರಿದರೆ ಕೊನೆಯ ಬಾರಿ ದೊರೆಯುವ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಬ್ಧ. ವಿಭಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಈ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ ಸುಲಭ ಅನ್ನಿಸುವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ.

ವಿಭಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ವಿವರಿಸುವಾಗ ‘೨೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸ ಬೇಕಾದರೆ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ೧ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನೂ ೮೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ೮ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ೨ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನೂ ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ ಸಾಕು’ ಅಂದದ್ದು ಏಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಊಹಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? ೨೦ = ೨ x ೧೦, ೮೦೦ = ೮ x ೧೦೦. ೧೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಅಂದರೆ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ಅದು ಇರುವಂತೆಯೇ ಬರೆದು ಒಂದು ಸೊನ್ನೆಯನ್ನೂ ೧೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಅಂದರೆ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ಅದು ಇರುವಂತೆಯೇ ಬರೆದು ಎರಡು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನೂ ಮುಂದೆ ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ ಸಾಕಲ್ಲವೇ? ಅಂದ ಮೇಲೆ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ದೊರೆಯುವ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಸೊನ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ದೊರೆತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ೧೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತೆ ಆಗುತ್ತದಲ್ಲವೇ?



ವಿಧಾನ ೩,  ಸಂಕಲನ ಅಥವ ವ್ಯವಕಲನ ವಿಧಾನ. ಗುಣಕವು ೧೦ ಮತ್ತು ೧೦೦ ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ೧೦ ರ ಅಪವರ್ತ್ಯದ ಸಮೀಪದ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವ ೧೦೦, ೧೦೦೦, ೧೦೦೦೦ ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೀಪದ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸುಲಭವಾಗಿ ಗುಣಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದು ನನ್ನ ಅಭಿಮತ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಾಂತರಿಸಿದ ವಿಭಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿಲೂಬಹುದು. ಈ ಮುಂದಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಉದಾ ೧. ೧೨೪ x ೧೮.

ಗುಣಕ ೧೮ = ೨೦-೨. ಗುಣ್ಯವನ್ನು ೨೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

೧೨೪ x ೨೦ = ೨೪೮೦

೧೨೪ x ೨ =    ೨೪೮

೧೨೪ x ೧೮ = ೨೨೩೨

ಉದಾ ೨. ೧೨೪ x ೭೨

ಗುಣಕ ೭೨ = ೭೦+೨. ಗುಣ್ಯವನ್ನು ೭೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ.

೧೨೪ x ೭೦ = ೮೬೮೦

೧೨೪ x ೨ =     ೨೪೮

೧೨೪ x ೭೨ =  ೮೯೨೮

ಉದಾ ೩. ೧೨೪ x ೯೯೮

ಗುಣಕ ೯೯೮ = ೧೦೦೦-೨. ಗುಣ್ಯವನ್ನು ೧೦೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

೧೨೪ x ೧೦೦೦ = ೧೨೪೦೦೦

೧೨೪ x ೨ =             ೨೪೮

೧೨೪ x ೯೯೮ =    ೧೨೩೭೫೨

ಗಮನಿಸಿ: ವಿಭಾಗಿಸುವಿಕೆ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಕಳೆಯುವಿಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ, ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ ಅಥವ ವ್ಯವಕಲನದ ಸಂದರ್ಭೋಚಿತ ಬಳಕೆ ಇದೆ. ಗುಣಕವು ಮೂರು ಅಥವ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳು ಉಳ್ಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗುಣಕ ೩೯೧ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ೩೯೧=೩೯೦+೧ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸ ಬೇಕು. ೩೯ ರಿಂದ ಗುಣ್ಯವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಸ್ಯೆ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನೀವೇ ಹೇಳಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಗುಣಿಸುವ ವಿಧಾನ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ಲಿಷ್ಟ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅನ್ನಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ‘ಖಂಡಿತ ಇಲ್ಲ’ ಎಂದೇ ಉತ್ತರ ನೀಡುವಿರಿ ಎಂಬ ಭರವಸೆ ನನಗಿರುವುದರಿಂದ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ನೀಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಈ ಮುನ್ನ ವಿವರಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನೂ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂಬ ಸೂಚನೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಜಿಂಕೆಮರಿಯ ಸುಂದರ ಚಂಚಲ ಕಣ್ಣುಗಳಂಥ ಕಣ್ಣುಗಳುಳ್ಳ ಲೀಲಾವತಿಯೇ ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಎಲ್ಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದರೆ ೧೩೫ ಅನ್ನು ೧೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಗುಣಲಬ್ಧವೆಷ್ಟು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ೧೨ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಲಭ್ಯವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?

ಇನ್ನೂ ಸುಲಭದ ಅಚ್ಚರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿರಿ