೧. ವಿಷಯ ಪ್ರವೇಶಕ್ಕೆ ಮುನ್ನ
ನನ್ನ ಉದ್ದೇಶ: ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಕಾರ - ಈ ನಾಲ್ಕು ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಾನಾ ಕಸರತ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕಸರತ್ತುಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಆಮದು ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕಸರತ್ತುಗಳ ಪರಿಣಾಮವೋ ಏನೋ ‘ಬಲು ಕ್ಲಿಷ್ಟ ವಿಷಯ’ ಎಂಬ ಹಣೆಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಗಣಿತ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನಾವು (ಅರ್ಥಾತ್ ಕಲಿಯುವವರು ಮತ್ತು ಕಲಿಸುವವರು) ಲಗತ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿರುವ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷವಿರುವುದರಿಂದ ಬಲು ಸುಲಭದ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ಲಿಷ್ಟದ್ದಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿದ್ದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಈ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಲು ಸುಲಭ. ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರಗಳನ್ನು ಸುಸೂತ್ರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗೆ, ಕುಶಲತೆ ಅಂದರೇನು? ‘ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಯೂ ವೇಗವಾಗಿಯೂ ನಿಖರವಾಗಿಯೂ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವೇ ಆ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆ’. ನೀವು ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೆರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆ.
ನನ್ನ ಆಕರ ಗ್ರಂಥಗಳು: ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಾನು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಎರಡು ಆಕರ ಗ್ರಂಥಗಳ ನೆರವು ಪಡೆದಿದ್ದೇನೆ. ಅವುಗಳ ಕುರಿತಾದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾಹಿತಿ ಇಂತಿದೆ:
ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಎಂದೇ ಖ್ಯಾತರಾಗಿರುವ ೨ ನೇ ಭಾಸ್ಕರ (೧೧೧೪-೧೧೮೫) ಸಂಸ್ಕೃತದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ (೧೧೫೦) ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶಿರೋಮಣಿ ಗ್ರಂಥದ ಮೊದಲನೆಯ ಭಾಗ ‘ಲೀಲಾವತೀ’. ಇದರ ಹೆಸರನ್ನು ನೀವು ಕೇಳಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. ಭಾರತದಾದ್ಯಂತ ಸುಮಾರು ೫೦೦ ವರ್ಷ ಕಾಲ ಉತ್ತಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಎಂಬ ಹೆಗ್ಗಳಿಕೆಗೆ ಪಾತ್ರವಾಗಿದ್ದ ಈ ಭಾಗ ನನ್ನ ಮೊದಲನೆಯ ಆಕರ ಗ್ರಂಥ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲೋಸುಗ ನೀಡಿರುವ ಲೆಕ್ಕಗಳ ಪೈಕಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ‘ಓ ಲೀಲಾವತಿ’ ಎಂದು ಆರಂಭವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಗ್ರಂಥಕ್ಕೆ ಈ ಹೆಸರು (ಈ ಕುರಿತಾದ ದಂತಕಥೆಗಳೂ ಇವೆ) . ‘ಲೀಲಾವತೀ’ನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ೩೪ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಿವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ೨೭೯ ಶ್ಲೋಕಗಳಿವೆ. ಕ್ರಿಷ್ಣಾಜಿ ಶಂಕರ ಪಟವರ್ಧನ್, ಸೋಮಶೇಖರ ಅಮೃತ ನೈಂಪಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಶ್ಯಾಮಲಾಲ್ ಸಿಂಗ್ ಇವರು ಮೂಲ ಶ್ಲೋಕದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾವಾನುವಾದವನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿಸಹಿತವಾಗಿ ಒದಗಿಸಿರುವ ‘ಲೀಲಾವತೀ’ (೨೦೦೧) ನನ್ನ ಮೊದಲನೆಯ ಆಕರ ಗ್ರಂಥ.
ಪುರಿಯ ಶ್ರೀ ಗೋವರ್ಧನ ಮಠದ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಜಗದ್ಗುರು ಶಂಕರಾಚಾರ್ಯರ ಸ್ಥಾನವನ್ನಲಂಕರಿಸಿದ್ದ (೧೯೨೫-೧೯೬೦) ಮೇಧಾವಿಗಳು ಸ್ವಾಮಿ ಶ್ರೀ ಭಾರತೀ ಕೃಷ್ಣ ತೀರ್ಥರು (೧೮೮೪-೧೯೬೦). ಕೇವಲ ಇಪ್ಪತ್ತು ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಕೃತ, ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಗಣಿತ, ಇತಿಹಾಸ ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಏಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿದ್ದಲ್ಲದೆ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಪ್ರಥಮ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದವರು ಇವರಾಗಿದ್ದರು. ಅಥರ್ವ ವೇದದ ಪರಿಶಿಷ್ಠವೊಂದರಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿ ಕುಳಿತಿದ್ದ ವೇದ ಗಣಿತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯ ಬೇಕೆಂಬುದು ಅವರ ಬಯಕೆಯಾಗಿತ್ತು. ೧೯೧೧ ನೇ ಇಸವಿಯಲ್ಲಿ ಶೃಂಗೇರಿಯ ಶ್ರೀ ಶಾರದಾ ಫೀಠದ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಜಗದ್ಗುರು ಶಂಕರಾಚಾರ್ಯ ಸಚ್ಚಿದಾನಂದ ಶಿವಾಭಿನವ ನೃಸಿಂಹ ಭಾರತಿ ಸ್ವಾಮಿಗಳವರ ದಿವ್ಯಾಶಿರ್ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದಿನ ಎಂಟು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಅದ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡದ್ದಲ್ಲದೆ ಶೃಂಗೇರಿಯ ಹತ್ತಿರದ ಅರಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ದ್ಯಾನ, ಬ್ರಹ್ಮ ಸಾದನ, ಯೋಗ ಸಾದನ ಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡರು. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆದ್ಯಾತ್ಮಿಕವಾಗಿ ಆತ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನವರು ಪಡೆದುಕೊಂಡರು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲ ಸಾಧನೆಗಳ ಬಲದಿಂದ ಹದಿನಾರು ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವೇದ ಗಣಿತವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ಬರೆದುದಾಗಿ ಅವರೇ ಹೇಳಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪುಟಗಳ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳು ಪುರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಮಿಗಳವರ ಆಪ್ತ ಶಿಶ್ಯರೋರ್ವರ ಮನೆಯಲ್ಲಿರಿಸಿದ್ದಾಗ ೧೯೫೬ರಲ್ಲಿ ದುರದೃಷ್ಟ ವಶಾತ್ ಬೆಂಕಿಗೆ ಆಹುತಿಯಾಯಿತೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ಜೀವನದ ಕೊನೆಯ ಕೆಲ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ನೆನಪಿನಾಳದಿಂದ ಕೆದಕಿ ತಗೆದ ಮಾಹಿತಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೇವಲ ಆರು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪುಟದ ಕರಡನ್ನು ರಚಿಸಿದರಂತೆ. ಇದನ್ನು ೧೯೬೫ರಲ್ಲಿ "ವೇದಗಣಿತ"ವೆಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ವಾರಣಾಸಿಯ ಮೋತಿಲಾಲ್ ಬನಾರಸಿದಾಸ್ ಪುಸ್ತಕ ಪ್ರಕಾಶಕರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು (೧೯೬೫). ಈ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಮಿಗಳು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ೧೬ ಸೂತ್ರಗಳೂ ಅವುಗಳ ಉಪಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲದೆ ೩೭ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಿವೆ.ಇದರ ೧೯೮೬ರ ಮರುಮುದ್ರಣದ ಪ್ರತಿ ನನ್ನ ಎರಡನೆಯ ಆಕರ ಗ್ರಂಥ.
ಈ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ಕುತೂಹಲಜನಕ ಮಾಹಿತಿ: ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆ ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಡು ಮಾಹಿತಿ ಬೇಕೋ ಆಷ್ಟನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಯ್ದು ಒದಗಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಅಂದಮಾತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಚೀನರಿಗೆ ಅಷ್ಟು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಕೂಡದು. ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯೂ ಇದೆ. ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರು ಎಷ್ಟು ಪ್ರಾಜ್ಞರಾಗಿದ್ದರು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಲೋಸುಗ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.
(೧) ಸ್ವಾಮಿ ಶ್ರೀ ಭಾರತೀ ಕೃಷ್ಣ ತೀರ್ಥರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದವು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿರುವ (ಪುಸ್ತಕದ ಸಂಪಾದಕರು ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆಯೇ ವಿನಾ ಶ್ರೀಗಳವರು ಸೂತ್ರಗಳ ಪಟಗಟಿ ತಯಾರಿಸಿಲ್ಲ) ೧೬ ಸೂತ್ರಗಳೂ ಅವುಗಳ ಉಪಸೂತ್ರಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನೆರವು ನೀಡುವ ಸ್ಮರಣೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದೂ ಇವನ್ನು ಕಂಠಸ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಗತ್ಯ ಎಂದೂ ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯ. ಉದಾಹರಣೆ ಸಹಿತ ವಿವರಿಸದೇ ಇದ್ದರೆ ಇವುಗಳ ಉಪಯೋಗ ಅರ್ಥವಾಗದಿರುವುದೂ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಇವುಗಳ ಶಾಬ್ದಿಕ ಜ್ಞಾನ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುವುದೂ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ಎಂದೇ, ೧೬ ಸುತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.
(೨) ‘ಲೀಲಾವತೀ’ಯ ಎರಡನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡನೆಯ ಶ್ಲೋಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಉಲ್ಲೆಖಿಸಿರುವ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆ ಸೂಚಕ ಹೆಸರುಗಳು ಇಂದು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲವಾದರೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿದಂತೆ ಅಂಕಿಗಳ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಆಗುವ ಹೆಚ್ಚಳದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಇಂದೂ ಹಾಗೆಯೇ ನೀಡಬಹುದು. ಶ್ಲೋಕ ಇಂತಿದೆ:
ಏಕದಶಶತಸಹಸ್ರಾಯುತಲಕ್ಷಪ್ರಯುತಕೋಟಯಃ ಕ್ರಮಶಃ ಅರ್ಬುದಮಬ್ಜಂ ಖರ್ವನಿಖರ್ವಮಹಾಪದ್ಮಶಂಕವಸ್ತಸ್ಮಾತ್ ಜಲಧಿಶ್ಚಾಂತ್ಯಂ ಮಧ್ಯಂ ಪರಾರ್ಧಮಿತಿ ದಶಗುಣೋತ್ತರಂ ಸಂಜ್ಞಾಃ ಸಂಖ್ಯಾಯಾಃ ಸ್ಥಾನಾನಾಂ ವ್ಯವಾಹಾರಾರ್ಥ ಕೃತಾಃ ಪೂರ್ವಃ ಈ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿದಂತೆ ಪ್ರತೀ ಸ್ಥಾನದ ಬೆಲೆ ಹಿಂದಿನದ್ದಕ್ಕಿಂತ ೧೦ ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರುವುದನ್ನೂ (ಈಗಲೂ ಇದು ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ) ೧೮ ಸ್ಥಾನಗಳು ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಹೆಸರುಗಳು ಇರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲ, ಪೂರ್ವಿಕರಿಂದ ಬಂದ ಜ್ಞಾನ ಇದು ಎಂದು ಹೇಳಿರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ.
ಇಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯರ ಪ್ರಕಾರ ೧ ಮಹಾಪದ್ಮ. ಇಂದಿನ ಒಂದು ಟ್ರಿಲಿಯನ್ ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಿಕರ ೧೦ ಪರಾರ್ಧ. ಇಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸ ಬೇಕಾಗುವುದು ಖಗೋಲವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಎಂಬ ತಥ್ಯ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಖಗೋಲವಿಜ್ಞಾನದ ಅಧ್ಯಯನವೂ ಇತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
(೩) ‘ಲೀಲಾವತೀ’ಯ ೧೫ ನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಶ್ಲೋಕಗಳ ತಿರುಳು ಇಂತಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅಥವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಕಳೆದರೆ ದೊರಯುವ ಉತ್ಪನ್ನ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸದರೆ ದೊರೆಯುವ ಗುಣಲಬ್ಧವೂ ಸೊನ್ನೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೊನ್ನೆಯ ವರ್ಗ, ವರ್ಗಮೂಲ, ಘನ, ಘನಮೂಲ ಇವೂ ಸೊನ್ನೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಖಹರ (ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಅನಂತ, ∞) ದೊರೆಯತ್ತದೆ. ಖಹರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅಥವ ಖಹರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಖಹರದ ಮೌಲ್ಯ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪದೇಪದೇ ಗುಣಿಸ ಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ ಕೊನೆಯ ಹಂತದ ತನಕ ಗುಣ್ಯ-ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಅಥವ ಭಾಜ್ಯ-ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡಿರಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಉತ್ತರ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರುವುದೇ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ (ಉದಾ: ೭ x ೦/೦ = ೭). ಈ ಅಧ್ಯಾಯದ ಕೊನೆಯ ಶ್ಲೋಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಮುಂದಿಡುತ್ತದೆ. ಅದು ಇಂತಿದೆ - (ಅ) ೫+೦=? (ಆ) ೦೨=?, ೦೩=?, √೦=?, ೩√೦=? (ಇ) ೦ x ೫=? (ಈ) ೦ ÷ ೫=? (ಉ) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ದೊರೆತ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಅದರ ೧/೨ ದಷ್ಟನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ. ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೊದಲು ೩ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ತದನಂತರ ೦ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೬೩ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ವಿಲೋಮ (ರಿವರ್ಸ್) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
[ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ (ಉ) ಸಮಸ್ಯೆ
ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಹೇಳಿದಂತೆ ವಿಲೋಮ (ರಿವರ್ಸ್) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದಲೂ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ ಕ್ರಿಯಾಸರಣಿಯ ತದ್ವಿರುದ್ಧ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾಡುವಾಗ ಆಚಾರ್ಯರು ೦ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೇಳಿದ ಕೊನೆಯ ತತ್ವ ಪಾಲಿಸ ಬೇಕು.
ಅಂದಿನ ಕಾಲದ ಗಣಿತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ {[(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)] x ೩} ÷೦ = ೬೩ ಆದರೆ ‘?’ ನ ಮೌಲ್ಯ ಏನು ಎಂಬುದು ಸಮಸ್ಯೆ. ಆಚಾರ್ಯರು ಹೇಳಿದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವಿಕೆ :-
ಹಂತ ೧: ೬೩ = {[(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)] x ೩} ÷೦
ಹಂತ ೨: ೬೩ x ೦ = {[(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)] x ೩}
ಹಂತ ೩: (೬೩ x ೦) ÷ ೩ = [(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)]
ಹಂತ ೪: (೨೧ x ೦) = [(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)]
ಹಂತ ೫: (೨೧ x ೦) = ೦ x [(?) + ೧/೨ (?)]
ಹಂತ ೬: (೨೧ x ೦) ÷೦ = [(?) + ೧/೨ (?)]
ಹಂತ ೬: ೨೧ = [(?) + ೧/೨ (?)]
ಹಂತ ೭: ೨೧ = (೩/೨) x?
ಹಂತ ೮: ೨೧ x (೨/೩) = ?
ಹಂತ ೯: ೧೪ = ? ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೪
ಇವನ್ನೆಲ್ಲ ಓದಿದ ಬಳಿಕ ಈಗಾಗಲೇ ಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಭಯಗಳು ಇದ್ದವರಿಗೆ ಭಯ ಕಮ್ಮಿ ಆಗುವ ಬದಲಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತೇ? ಭಯ ಬೇಡ, ಇಂಥವನ್ನೆಲ್ಲ ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಈ ಮುನ್ನವೇ ಹೇಳಿದಂತೆ ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ‘ಕೂಡು, ಕಳೆ, ಗುಣಿಸು, ಭಾಗಿಸು’ ಈ ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆ ಸಾಧಿಸಲು ಎಷ್ಡು ಬೇಕೋ ಅಷ್ಠೇ ಮಾಹಿತಿ ಒದಗಿಸುತ್ತೇನೆ.
ನನ್ನ ಉದ್ದೇಶ: ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಕಾರ - ಈ ನಾಲ್ಕು ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಾನಾ ಕಸರತ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕಸರತ್ತುಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಆಮದು ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕಸರತ್ತುಗಳ ಪರಿಣಾಮವೋ ಏನೋ ‘ಬಲು ಕ್ಲಿಷ್ಟ ವಿಷಯ’ ಎಂಬ ಹಣೆಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಗಣಿತ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನಾವು (ಅರ್ಥಾತ್ ಕಲಿಯುವವರು ಮತ್ತು ಕಲಿಸುವವರು) ಲಗತ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿರುವ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷವಿರುವುದರಿಂದ ಬಲು ಸುಲಭದ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ಲಿಷ್ಟದ್ದಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿದ್ದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಈ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಲು ಸುಲಭ. ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರಗಳನ್ನು ಸುಸೂತ್ರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗೆ, ಕುಶಲತೆ ಅಂದರೇನು? ‘ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಯೂ ವೇಗವಾಗಿಯೂ ನಿಖರವಾಗಿಯೂ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವೇ ಆ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆ’. ನೀವು ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೆರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆ.
ನನ್ನ ಆಕರ ಗ್ರಂಥಗಳು: ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಾನು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಎರಡು ಆಕರ ಗ್ರಂಥಗಳ ನೆರವು ಪಡೆದಿದ್ದೇನೆ. ಅವುಗಳ ಕುರಿತಾದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾಹಿತಿ ಇಂತಿದೆ:
ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಎಂದೇ ಖ್ಯಾತರಾಗಿರುವ ೨ ನೇ ಭಾಸ್ಕರ (೧೧೧೪-೧೧೮೫) ಸಂಸ್ಕೃತದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ (೧೧೫೦) ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶಿರೋಮಣಿ ಗ್ರಂಥದ ಮೊದಲನೆಯ ಭಾಗ ‘ಲೀಲಾವತೀ’. ಇದರ ಹೆಸರನ್ನು ನೀವು ಕೇಳಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. ಭಾರತದಾದ್ಯಂತ ಸುಮಾರು ೫೦೦ ವರ್ಷ ಕಾಲ ಉತ್ತಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಎಂಬ ಹೆಗ್ಗಳಿಕೆಗೆ ಪಾತ್ರವಾಗಿದ್ದ ಈ ಭಾಗ ನನ್ನ ಮೊದಲನೆಯ ಆಕರ ಗ್ರಂಥ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲೋಸುಗ ನೀಡಿರುವ ಲೆಕ್ಕಗಳ ಪೈಕಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ‘ಓ ಲೀಲಾವತಿ’ ಎಂದು ಆರಂಭವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಗ್ರಂಥಕ್ಕೆ ಈ ಹೆಸರು (ಈ ಕುರಿತಾದ ದಂತಕಥೆಗಳೂ ಇವೆ) . ‘ಲೀಲಾವತೀ’ನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ೩೪ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಿವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ೨೭೯ ಶ್ಲೋಕಗಳಿವೆ. ಕ್ರಿಷ್ಣಾಜಿ ಶಂಕರ ಪಟವರ್ಧನ್, ಸೋಮಶೇಖರ ಅಮೃತ ನೈಂಪಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಶ್ಯಾಮಲಾಲ್ ಸಿಂಗ್ ಇವರು ಮೂಲ ಶ್ಲೋಕದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾವಾನುವಾದವನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿಸಹಿತವಾಗಿ ಒದಗಿಸಿರುವ ‘ಲೀಲಾವತೀ’ (೨೦೦೧) ನನ್ನ ಮೊದಲನೆಯ ಆಕರ ಗ್ರಂಥ.
ಪುರಿಯ ಶ್ರೀ ಗೋವರ್ಧನ ಮಠದ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಜಗದ್ಗುರು ಶಂಕರಾಚಾರ್ಯರ ಸ್ಥಾನವನ್ನಲಂಕರಿಸಿದ್ದ (೧೯೨೫-೧೯೬೦) ಮೇಧಾವಿಗಳು ಸ್ವಾಮಿ ಶ್ರೀ ಭಾರತೀ ಕೃಷ್ಣ ತೀರ್ಥರು (೧೮೮೪-೧೯೬೦). ಕೇವಲ ಇಪ್ಪತ್ತು ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಕೃತ, ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಗಣಿತ, ಇತಿಹಾಸ ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಏಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿದ್ದಲ್ಲದೆ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಪ್ರಥಮ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದವರು ಇವರಾಗಿದ್ದರು. ಅಥರ್ವ ವೇದದ ಪರಿಶಿಷ್ಠವೊಂದರಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿ ಕುಳಿತಿದ್ದ ವೇದ ಗಣಿತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯ ಬೇಕೆಂಬುದು ಅವರ ಬಯಕೆಯಾಗಿತ್ತು. ೧೯೧೧ ನೇ ಇಸವಿಯಲ್ಲಿ ಶೃಂಗೇರಿಯ ಶ್ರೀ ಶಾರದಾ ಫೀಠದ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಶ್ರೀ ಜಗದ್ಗುರು ಶಂಕರಾಚಾರ್ಯ ಸಚ್ಚಿದಾನಂದ ಶಿವಾಭಿನವ ನೃಸಿಂಹ ಭಾರತಿ ಸ್ವಾಮಿಗಳವರ ದಿವ್ಯಾಶಿರ್ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದಿನ ಎಂಟು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಅದ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡದ್ದಲ್ಲದೆ ಶೃಂಗೇರಿಯ ಹತ್ತಿರದ ಅರಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ದ್ಯಾನ, ಬ್ರಹ್ಮ ಸಾದನ, ಯೋಗ ಸಾದನ ಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡರು. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆದ್ಯಾತ್ಮಿಕವಾಗಿ ಆತ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನವರು ಪಡೆದುಕೊಂಡರು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲ ಸಾಧನೆಗಳ ಬಲದಿಂದ ಹದಿನಾರು ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವೇದ ಗಣಿತವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ಬರೆದುದಾಗಿ ಅವರೇ ಹೇಳಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪುಟಗಳ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳು ಪುರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಮಿಗಳವರ ಆಪ್ತ ಶಿಶ್ಯರೋರ್ವರ ಮನೆಯಲ್ಲಿರಿಸಿದ್ದಾಗ ೧೯೫೬ರಲ್ಲಿ ದುರದೃಷ್ಟ ವಶಾತ್ ಬೆಂಕಿಗೆ ಆಹುತಿಯಾಯಿತೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ಜೀವನದ ಕೊನೆಯ ಕೆಲ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ನೆನಪಿನಾಳದಿಂದ ಕೆದಕಿ ತಗೆದ ಮಾಹಿತಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೇವಲ ಆರು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪುಟದ ಕರಡನ್ನು ರಚಿಸಿದರಂತೆ. ಇದನ್ನು ೧೯೬೫ರಲ್ಲಿ "ವೇದಗಣಿತ"ವೆಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ವಾರಣಾಸಿಯ ಮೋತಿಲಾಲ್ ಬನಾರಸಿದಾಸ್ ಪುಸ್ತಕ ಪ್ರಕಾಶಕರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು (೧೯೬೫). ಈ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಮಿಗಳು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ೧೬ ಸೂತ್ರಗಳೂ ಅವುಗಳ ಉಪಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲದೆ ೩೭ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಿವೆ.ಇದರ ೧೯೮೬ರ ಮರುಮುದ್ರಣದ ಪ್ರತಿ ನನ್ನ ಎರಡನೆಯ ಆಕರ ಗ್ರಂಥ.
ಈ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ಕುತೂಹಲಜನಕ ಮಾಹಿತಿ: ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆ ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಡು ಮಾಹಿತಿ ಬೇಕೋ ಆಷ್ಟನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಯ್ದು ಒದಗಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಅಂದಮಾತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಚೀನರಿಗೆ ಅಷ್ಟು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಕೂಡದು. ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯೂ ಇದೆ. ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರು ಎಷ್ಟು ಪ್ರಾಜ್ಞರಾಗಿದ್ದರು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಲೋಸುಗ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.
(೧) ಸ್ವಾಮಿ ಶ್ರೀ ಭಾರತೀ ಕೃಷ್ಣ ತೀರ್ಥರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದವು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿರುವ (ಪುಸ್ತಕದ ಸಂಪಾದಕರು ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆಯೇ ವಿನಾ ಶ್ರೀಗಳವರು ಸೂತ್ರಗಳ ಪಟಗಟಿ ತಯಾರಿಸಿಲ್ಲ) ೧೬ ಸೂತ್ರಗಳೂ ಅವುಗಳ ಉಪಸೂತ್ರಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನೆರವು ನೀಡುವ ಸ್ಮರಣೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದೂ ಇವನ್ನು ಕಂಠಸ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಗತ್ಯ ಎಂದೂ ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯ. ಉದಾಹರಣೆ ಸಹಿತ ವಿವರಿಸದೇ ಇದ್ದರೆ ಇವುಗಳ ಉಪಯೋಗ ಅರ್ಥವಾಗದಿರುವುದೂ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಇವುಗಳ ಶಾಬ್ದಿಕ ಜ್ಞಾನ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುವುದೂ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ಎಂದೇ, ೧೬ ಸುತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.
| ೧ | ಏಕಾಧಿಕೇನ ಪೂರ್ವೇಣ (ಹಿಂದಿನದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು) | ೯ | ಚಲನಕಲನಾಭ್ಯಮ್ (ಭಿನ್ನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಗಳು) |
| ೨ | ನಿಖಿಲಂ ನವತಶ್ಚರಮಂ ದಶತಃ (ಎಲ್ಲವೂ ೯ ರಿಂದ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದ್ದು ಹತ್ತರಿಂದ) | ೧೦ | ಯಾವದೂನಮ್ (ಅದರಲ್ಲಿ ಕೊರತೆ ಎಷ್ಟಿದೆಯೋ) |
| ೩ | ಊರ್ಧ್ವ ತಿರ್ಯಗ್ಭ್ಯಾಮ್ (ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡವಾಗಿ) | ೧೧ | ವ್ಯಷ್ಟಿಸಮಷ್ಟಿಃ (ಬಿಡಿ ಮತ್ತು ಇಡಿ) |
| ೪ | ಪರಾವರ್ತ್ಯ ಯೋಜಯೇತ್ (ವಿಪರ್ಯಯಿಸು ಮತ್ತು ಸರಿಹೊಂದಿಸು) | ೧೨ | ಶೇಷಾಣ್ಯಂಕೇನ ಚರಮೇಣ (ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯಿಂದ ಶೇಷ) |
| ೫ | ಶೂನ್ಯಂ ಸಾಮ್ಯಸಮುಚ್ಚಯೇ (ಮೊತ್ತ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಆ ಮೊತ್ತ ಸೊನ್ನೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ) | ೧೩ | ಸೋಪಾನಂತ್ಯದ್ವಯಮನ್ಯಂತ್ಯಮ್ (ಕಟ್ಟಕಡೆಯದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದಿನದ್ದರ ಎರಡರಷ್ಟು) |
| ೬ | (ಆನುರೂಪ್ಯೇ) ಶೂನ್ಯಮನ್ಯತ್ (ಒಂದು ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸೊನ್ನೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ) | ೧೪ | ಏಕನ್ಯೂನೇನ ಪೂರ್ವೇಣ (ಹಿಂದಿನದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ) |
| ೭ | ಸಂಕಲನವ್ಯವಕಲನಾಭ್ಯಮ್ (ಸಂಕಲನದಿಂದ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದಿಂದ) | ೧೫ | ಗುಣಿತಸಮುಚ್ಚಯಃ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ) |
| ೮ | ಪೂರಣಾಪೂರಣಾಭ್ಯಮ್ (ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವ ಅಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ) | ೧೬ | ಗುಣಕಸಮುಚ್ಚಯಃ (ಮೊತ್ತದ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ) |
(೨) ‘ಲೀಲಾವತೀ’ಯ ಎರಡನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡನೆಯ ಶ್ಲೋಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಉಲ್ಲೆಖಿಸಿರುವ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆ ಸೂಚಕ ಹೆಸರುಗಳು ಇಂದು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲವಾದರೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿದಂತೆ ಅಂಕಿಗಳ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಆಗುವ ಹೆಚ್ಚಳದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಇಂದೂ ಹಾಗೆಯೇ ನೀಡಬಹುದು. ಶ್ಲೋಕ ಇಂತಿದೆ:
ಏಕದಶಶತಸಹಸ್ರಾಯುತಲಕ್ಷಪ್ರಯುತಕೋಟಯಃ ಕ್ರಮಶಃ ಅರ್ಬುದಮಬ್ಜಂ ಖರ್ವನಿಖರ್ವಮಹಾಪದ್ಮಶಂಕವಸ್ತಸ್ಮಾತ್ ಜಲಧಿಶ್ಚಾಂತ್ಯಂ ಮಧ್ಯಂ ಪರಾರ್ಧಮಿತಿ ದಶಗುಣೋತ್ತರಂ ಸಂಜ್ಞಾಃ ಸಂಖ್ಯಾಯಾಃ ಸ್ಥಾನಾನಾಂ ವ್ಯವಾಹಾರಾರ್ಥ ಕೃತಾಃ ಪೂರ್ವಃ ಈ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿದಂತೆ ಪ್ರತೀ ಸ್ಥಾನದ ಬೆಲೆ ಹಿಂದಿನದ್ದಕ್ಕಿಂತ ೧೦ ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರುವುದನ್ನೂ (ಈಗಲೂ ಇದು ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ) ೧೮ ಸ್ಥಾನಗಳು ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಹೆಸರುಗಳು ಇರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲ, ಪೂರ್ವಿಕರಿಂದ ಬಂದ ಜ್ಞಾನ ಇದು ಎಂದು ಹೇಳಿರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ.
ಖರ್ವ
|
ಅಬ್ಜ
|
ಅರ್ಬುದ
|
ಕೋಟಿ
|
ಪ್ರಯುತ
|
ಲಕ್ಷ
|
ಅಯುತ
|
ಸಹಸ್ರ
|
ಶತ
|
ದಶ
|
ಏಕ
|
೧೦೧೦
|
೧೦೯
|
೧೦೮
|
೧೦೭
|
೧೦೬
|
೧೦೫
|
೧೦೪
|
೧೦೩
|
೧೦೨
|
೧೦
|
೧
|
| ಪರಾರ್ಧ | ಮಧ್ಯ | ಅಂತ | ಜಲಧಿ | ಶಂಕು | ಮಹಾಪದ್ಮ | ನಿಖರ್ವ |
೧೦೧೭
|
೧೦೧೬
|
೧೦೧೫
|
೧೦೧೪
|
೧೦೧೩
|
೧೦೧೨
|
೧೦೧೧
|
ಇಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯರ ಪ್ರಕಾರ ೧ ಮಹಾಪದ್ಮ. ಇಂದಿನ ಒಂದು ಟ್ರಿಲಿಯನ್ ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಿಕರ ೧೦ ಪರಾರ್ಧ. ಇಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸ ಬೇಕಾಗುವುದು ಖಗೋಲವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಎಂಬ ತಥ್ಯ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಖಗೋಲವಿಜ್ಞಾನದ ಅಧ್ಯಯನವೂ ಇತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
(೩) ‘ಲೀಲಾವತೀ’ಯ ೧೫ ನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಶ್ಲೋಕಗಳ ತಿರುಳು ಇಂತಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅಥವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಕಳೆದರೆ ದೊರಯುವ ಉತ್ಪನ್ನ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸದರೆ ದೊರೆಯುವ ಗುಣಲಬ್ಧವೂ ಸೊನ್ನೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೊನ್ನೆಯ ವರ್ಗ, ವರ್ಗಮೂಲ, ಘನ, ಘನಮೂಲ ಇವೂ ಸೊನ್ನೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಖಹರ (ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಅನಂತ, ∞) ದೊರೆಯತ್ತದೆ. ಖಹರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅಥವ ಖಹರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಖಹರದ ಮೌಲ್ಯ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪದೇಪದೇ ಗುಣಿಸ ಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ ಕೊನೆಯ ಹಂತದ ತನಕ ಗುಣ್ಯ-ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಅಥವ ಭಾಜ್ಯ-ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡಿರಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಉತ್ತರ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರುವುದೇ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ (ಉದಾ: ೭ x ೦/೦ = ೭). ಈ ಅಧ್ಯಾಯದ ಕೊನೆಯ ಶ್ಲೋಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಮುಂದಿಡುತ್ತದೆ. ಅದು ಇಂತಿದೆ - (ಅ) ೫+೦=? (ಆ) ೦೨=?, ೦೩=?, √೦=?, ೩√೦=? (ಇ) ೦ x ೫=? (ಈ) ೦ ÷ ೫=? (ಉ) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ದೊರೆತ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಅದರ ೧/೨ ದಷ್ಟನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ. ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೊದಲು ೩ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ತದನಂತರ ೦ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೬೩ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ವಿಲೋಮ (ರಿವರ್ಸ್) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
[ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ (ಉ) ಸಮಸ್ಯೆ
ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಹೇಳಿದಂತೆ ವಿಲೋಮ (ರಿವರ್ಸ್) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದಲೂ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ ಕ್ರಿಯಾಸರಣಿಯ ತದ್ವಿರುದ್ಧ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾಡುವಾಗ ಆಚಾರ್ಯರು ೦ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೇಳಿದ ಕೊನೆಯ ತತ್ವ ಪಾಲಿಸ ಬೇಕು.ಅಂದಿನ ಕಾಲದ ಗಣಿತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ {[(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)] x ೩} ÷೦ = ೬೩ ಆದರೆ ‘?’ ನ ಮೌಲ್ಯ ಏನು ಎಂಬುದು ಸಮಸ್ಯೆ. ಆಚಾರ್ಯರು ಹೇಳಿದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವಿಕೆ :-
ಹಂತ ೧: ೬೩ = {[(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)] x ೩} ÷೦
ಹಂತ ೨: ೬೩ x ೦ = {[(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)] x ೩}
ಹಂತ ೩: (೬೩ x ೦) ÷ ೩ = [(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)]
ಹಂತ ೪: (೨೧ x ೦) = [(? x ೦) + ೧/೨ (? x ೦)]
ಹಂತ ೫: (೨೧ x ೦) = ೦ x [(?) + ೧/೨ (?)]
ಹಂತ ೬: (೨೧ x ೦) ÷೦ = [(?) + ೧/೨ (?)]
ಹಂತ ೬: ೨೧ = [(?) + ೧/೨ (?)]
ಹಂತ ೭: ೨೧ = (೩/೨) x?
ಹಂತ ೮: ೨೧ x (೨/೩) = ?
ಹಂತ ೯: ೧೪ = ? ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೪
ಇವನ್ನೆಲ್ಲ ಓದಿದ ಬಳಿಕ ಈಗಾಗಲೇ ಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಭಯಗಳು ಇದ್ದವರಿಗೆ ಭಯ ಕಮ್ಮಿ ಆಗುವ ಬದಲಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತೇ? ಭಯ ಬೇಡ, ಇಂಥವನ್ನೆಲ್ಲ ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಈ ಮುನ್ನವೇ ಹೇಳಿದಂತೆ ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ‘ಕೂಡು, ಕಳೆ, ಗುಣಿಸು, ಭಾಗಿಸು’ ಈ ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆ ಸಾಧಿಸಲು ಎಷ್ಡು ಬೇಕೋ ಅಷ್ಠೇ ಮಾಹಿತಿ ಒದಗಿಸುತ್ತೇನೆ.
1 comment:
ಮುಂದಿನ ಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಕಾದಿದ್ದೇನೆ ಗೋವಿಂದ ಸರ್!
ನಮ್ಮ ತಲೆಮಾರಿಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟಾದರೂ ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಿಕರ ಜ್ಞ್ಜಾನ ಸಂಪತ್ತಿನ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯಿದೆ...ಆದರೆ ಈಗಿನ ಜನಾಂಗಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲವೂ ಬ್ರಿಟಿಷರ ಮತ್ತು ಯುರೋಪಿನವರ ಕೊಡುಗೆ ಎಂದೇ ತಿಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ...ಎಲ್ಲಾ ನಮ್ಮ ದುರಾದೃಷ್ಟ!
Post a Comment