ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೬

೬ ಗುಣಾಕಾರ, ವೇದಗಣಿತ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು (ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)

ಅನುರೂಪವಾಗಿಸುವಿಕೆ ವಿಧಾನ: ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳೆರಡೂ ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦, ಮುಂತಾದವುಗಳ ಅಥವ ಅವುಗಳ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಸಮೀಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ತಂತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಸಮೀಪ ಅಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ವಿವೇಚನೆಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇನೆ. ತಂತ್ರ ಅರ್ಥವಾದ ಬಳಿಕ ನೀವೇ ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ. ಈ ತಂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸುವವರಿಗೆ + x + = +, - x - = +, - x + = - ಇಷ್ಟು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ೧೦ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಆಗಿರುವಂಥ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವುಗಳ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳ ಸಮೀಪವಿರುವ ಮೂರು ಅಥವ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಯಾವುದಾರೂ ಕಂತುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಉದಾ: ೧೨ x ೧೪, ೩೮ x ೪೩, ೭೯ x ೭೮,  ೨೩ x ೨೪, ೫೨ x ೪೭, ೯೨ x ೯೩,

ಈ ತಂತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲು ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು:

(೧) ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ೧೦ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವ ಅಪವರ್ತ್ಯದ (ಉದಾ: ೨೦, ೩೦, ೪೦, ೫೦, ೬೦ ,೭೦, ೮೦ ೯೦, ೧೦೦) ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಮತ್ತು ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೦ ಕ್ಕಿಂತ ಎಷ್ಟು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ.



(೨) ಈ ಮೊದಲಿನ ವಿಧಾನಗಳ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬರೆದು ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ತಂತ್ರ ಮನೋಗತವಾಗುವ ತನಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ಗೆರೆ ಎಳೆಯುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು.



(೩) ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಅಪವರ್ತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಗುಣ್ಯ ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವ ಎಷ್ಟು ಕಮ್ಮಿ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಗುಣ್ಯದ ನೇರದಲ್ಲಿಯೇ ಲಂಬರೇಖೆಯ ಬಲ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಸಂದರ್ಭೋಚಿತವಾಗಿ ‘+’ ಅಥವ ‘-‘ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅಂತೆಯೇ ಗುಣಕ ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವ ಎಷ್ಟು ಕಮ್ಮಿ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಗುಣ್ಯದ ನೇರದಲ್ಲಿಯೇ ಲಂಬರೇಖೆಯ ಬಲ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಸಂದರ್ಭೋಚಿತವಾಗಿ ‘+’ ಅಥವ ‘-‘ಚಿಹ್ನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸದೇ ಬರೆದರೆ + ಇದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.



(೪) ಲಂಬರೇಖೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ + ಅಥವ - ಚಿಹ್ನೆಯುತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಾನುಸರ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಅವುಗಳ ನೇರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಗುಣಲಬ್ಧವು + ಚಿಹ್ನೆಯುತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಗುಣಲಬ್ಧವು - ಚಿಹ್ನೆಯುತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಬರೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ.



(೫) ಗುಣ್ಯದ ಎದುರು ಇರುವ ಚಿಹ್ನೆಯುತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಕಕ್ಕೆ ಅಥವ ಗುಣಕದ ಎದುರು ಇರುವ ಚಿಹ್ನೆಯುತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣ್ಯಕ್ಕೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೂಡಿಸಿ ಅಥವ ಕಳೆದು ಗುಣ್ಯ ಗುಣಕಗಳ ನೇರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.



(೬) ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ೧೦ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವ ಅಪವರ್ತ್ಯದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಮತ್ತು ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೦ ಕ್ಕಿಂತ ಎಷ್ಟು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಲ್ಲವೆ? ‘೧೦ ಕ್ಕಿಂತ ಎಷ್ಟು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಇದೆ ‘ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹಂತ (೫) ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಮೊದಲು ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಡೆದು ಹಾಕಿ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮಿಕ್ಕಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುಕಮ್ಮಿ ಈ ಅಂಕಿಗಳಿರುತ್ತವೆ.



(೭) ಹಂತ (೬) ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ನೂತನ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ೧೦ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿ ೧೦ ಅಥವ ಅದರ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ)  ಲಂಬರೇಖೆಯ ಬಲ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೂಡಿಸಿ ಅಥವ ಕಳೆದರೆ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಬ್ಧ.



ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ತ್ರಾಸದಾಯಕ ಅನ್ನಿಸಬಹುದಾದ ಈ ತಂತ್ರ ತುಸು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದರೆ ಬಲು ಸುಭ ಅನ್ನಿಸಲಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನೋಡಿ. ಕಷ್ಟ ಅನ್ನಿಸಿದರೆ ಚಿಂತೆ ಬೇಡ, ಈ ಹಿಂದಿನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಯುಕ್ತವಾದದ್ದನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ.

ಈ ತಂತ್ರದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರಹಸ್ಯ ಏನು ಎಂಬ ಕುತೂಹಲ ಇರುವ ಗಣಿತಕೋವಿದರಿಗಾಗಿ ಮುದೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸುಳಿವು ನೀಡಿದ್ದೇನೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.



ಮೂರು ಅಥವ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಈ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಮುಂದೆ ನೋಡೋಣ