ವಿಜ್ಞಾನ ಸಂಬಂಧಿತ ಸರಳ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು - ೪೩

ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಚಮತ್ಕಾರ

ಆಯಾಕಾರದ ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ರಚಿಸಿದ ಬಳೆಯ ಚಿತ್ರ ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ೧). ಚುಕ್ಕಿ ಗೆರೆಯಗುಂಟ ಅದನ್ನುಕತ್ತರಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಳೆಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸರಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸಿದಿರಲ್ಲವೆ?  ಅಂದ ಹಾಗೆ, ಈ ಬಳೆಗೆ ಒಂದನ್ನೊಂದು ಸಂಪರ್ಕಿಸದ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳೂ ಎರಡು ಮೈಗಳೂ ಇವೆಯಲ್ಲವೆ? ಒಂದೇ ಮೈ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಅಂಚು ಇರುವ ಚಿತ್ರ ೧ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಬಳೆಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದಂತೆ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶ ನೀಡುವ ಬಳೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಲು ನೀವು ಏನೆಲ್ಲ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಮಾಡಿ ನೋಡಿ.

ಸುಮಾರು ೩x೨೦ ಸೆಂಮೀ ಅಳತೆಯ ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ. (ಆರಂಭಿಕರ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಸೂಚಿಸಿರುವ ಅಳತೆ ಇದು. ಇದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಅನುಕೂಲಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು) ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಅಥವ ಬಲಕ್ಕೆ ೧/೨ ಸುತ್ತು ತಿರುಚಿ. ತಿರುಚಿದ ಪಟ್ಟಿಯ ಎರಡು ತುದಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ಅಂಟಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ ಒಂದು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಉಳ್ಳ ಬಳೆ (ಚಿತ್ರ ೨). ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಳೆಯ ಹೆಸರೇ ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿ. ಇದನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಆಗಸ್ಟ್ ಫರ್ಡಿನಾಂಡ್ ಮೋಬಿಯಸ್ (೧೭೯೦-೧೮೬೮) ಮತ್ತು ಜೊಹಾನ್ ಬೆನೆಡಿಕ್ಟ್ ಲಿಸ್ಟಿಂಗ್ (೧೮೦೮-೧೮೮೨) ಎಂಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕ್ರಿ ಶ ೧೮೫೮ ರಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದರು. ಟಾಪಾಲಜಿ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಗಣಿತ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ (ಹಿಗ್ಗಿಸುವಿಕೆ. ಬಾಗಿಸುವಿಕೆ ಮೊದಲಾದ ಸಮಬಿಂಬನಗಳಿಂದ ಬದಲಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸುವ ಶಾಖೆ) ಇಂಥ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸುತ್ತಾರೆ.

೧. ಈ ತಿರುಚಿದ ಬಳೆಯ ಅಂಚಿನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಪುನಃ ಅದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲಪುವ ತನಕ ಸ್ಕೆಚ್ ಪೆನ್ನಿನಿಂದ ಅಂಚಿನಗುಂಟ ಅಖಂಡವಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಸವರುತ್ತಾ ಹೋಗಿ. ತದನಂತರ, ಅದೇ ರೀತಿ, ಬಣ್ಣ ಸವರದೇ ಇದ್ದ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಚಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಸವರಲೋಸುಗ ಅದು ಎಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಹುಡುಕಿ. ಸಿಕ್ಕಲಿಲ್ಲವೇ?. ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವುದು ಒಂದು ಅಂಚು ಮಾತ್ರವೇ? ಈ ತಿರುಚಿದ ಬಳೆಯ ಮೇಲ್ಮೈನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಪುನಃ ಅದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲಪುವ ತನಕ ಸ್ಕೆಚ್ ಪೆನ್ನಿನಿಂದ ಅಖಂಡವಾಗಿ ಗೆರೆ ಎಳೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗಿ. ತದನಂತರ, ಅದೇ ರೀತಿ, ಗೆರೆ ಎಳೆಯದೇ ಇದ್ದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೈಮೇಲೆ ಗೆರೆ ಎಳೆಯಲೋಸುಗ ಅದು ಎಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಹುಡುಕಿ. ಸಿಕ್ಕಲಿಲ್ಲವೇ?. ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವುದು ಒಂದು ಮೈ ಮಾತ್ರವೇ? (ಚಿತ್ರ ೩) ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಮೈನ ಮಧ್ಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯಗುಂಟ ಈ ತಿರುಚಿದ ಬಳೆಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ತುಂಡುಗಳಾಗಬಹುದು, ಊಹಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಊಹೆ ಸರಿಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳೆಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ನೀವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಳೆಗಳ ಬದಲು ಇನ್ನೊಂದು ಉದ್ದನೆಯ ೪ ಅರೆ ತಿರಿಚುಗಳು ಇರುವ ಪಟ್ಟಿ ಲಭಿಸಿತೇ? ದೊರೆತ ುದ್ದನೆಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಮೊದಲು ಮಾಡಿದಂತೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ ಏನಾದೀತು ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲು ಊಹಿಸಿ, ತದನಂತರ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಪಟ್ಟಿಗಳು ದೊರೆತವೆ?

೨. ಇನ್ನೊಂದು ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿ ತಯಾರಿಸಿ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯ ಯಾವುದಾದರೂ ಅಂಚಿನಿಂದ ಅಗಲದ ೧/೩ ರಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಉದ್ದಕ್ಕೂ  ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ  ಏನಾಗುತ್ತದೆ? (ಚಿತ್ರ ೪) ಈ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದೇ ಅಂಚು ಇರುವುದು ನಿಜವಾದರೆ ಕತ್ತರಿಸಲಾರಂಭಿಸಿದಲ್ಲಿಗೆ ಪುನಃ ತಲುಪಬೇಕಷ್ಟೆ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ನೋಡಿ. ಹೀಗೆ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿರುವ ಎಂಥ ಪಟ್ಟಿಗಳು ಎಷ್ಟು ದೊರೆತವು?

೩. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ ಕಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಆಯಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿ ತಯಾರಿಸಿ. ಒಂದು ಅರೆ ತಿರಿಚುವಿಕೆಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಎರಡು ಅರೆ ತಿರಿಚುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಬಳೆಯ ಆಕೃತಿ ಆಗುವಂತೆ ತುದಿಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸಿ, (ಚಿತ್ರ ೫) ಈ ಆಕೃತಿಗೆ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಚುಗಳೂ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೈಗಳೂ ಇರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂದ ಮೇಲೆ, ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ದುದ್ದಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಳೆಗಳು ಲಭಿಸಬೇಕಲ್ಲವೇ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ನೋಡಿ. ಅಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾಗುವುದು ಖಾತರಿ. ತದನಂತರ ಇನ್ನೊಂದು ಆಯಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ೩ ಅರೆ ತಿರಿಚುಗಳು ಉಳ್ಳ ಬಳೆ ತಯಾರಿಸಿ ಅದಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಅಂಚುಗಳು ಇವೆ ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ಮೈಗಳು ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲೋಕಿಸಿ. ಈ ಬಳೆಯನ್ನು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ದುದ್ದಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ ಏನು ಉತ್ಪತ್ತಿ ಆಗಬಹುದು? ಊಹಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? ಮಾಡಿ ನೋಡಿ. ನಿಮ್ಮ ಊಹೆ ತಪ್ಪಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯೇ ಹೆಚ್ಚು. ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಗಂಟು ಉಳ್ಳ ಕುಣಿಕೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

೪. ಯಾವ ತಿರಿಚೂ ಇಲ್ಲದ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ. ಈ ಬಳೆಗಳ ಹೊರಮೈ ಮತ್ತು ಒಳಮೈಗಳ ಬಣ್ಣ ಬೇರೆಬೇರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಒಳ್ಳೆಯದು. ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಇರುವಂತೆ ಅವನ್ನು ಅಂಟಿಸಿ. (ಚಿತ್ರ ೬) ಪ್ರತೀ ಬಳೆಯನ್ನೂ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ದುದ್ದಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸಿ. ಚೌಕಾಕೃತಿಯೊಂದು ಲಭಿಸಿದರೆ ನೀವು ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದರ್ಥ. [ಲೇಖನದ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸುವ ಸುಲಭೋಪಾಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ, ಗಮನಿಸಿ]

೫. ತಿರಿಚುಗಳು ಇಲ್ಲದ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವಂತೆ ಅಂಟಿಸಿ.  ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳೆಯ ಹೊರಮೈ ಮತ್ತು ಒಳಮೈಗಳ ಬಣ್ಣ ಬೇರೆಬೇರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಒಳ್ಳೆಯದು. (ಚಿತ್ರ ೭) ಪ್ರತೀ ಬಳೆಯನ್ನೂ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ದುದ್ದಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸಿ. ಪುನಃ ಚೌಕಾಕೃತಿಯೇ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.  ಈಗ ಲಭಿಸಿದ ಚೌಕಾಕೃತಿಗೂ ಹಿಂದಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ದೊರೆತದ್ದಕ್ಕೂ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿ.

೬. ಎರಡು ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವಂತೆ ಅಂಟಿಸಿ ( ಚಿತ್ರ ೮) ಪ್ರಯೋಗ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ದೊರೆತ ಆಕೃತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಗಮನಿಸಿ. ತದನಂತರ ಒಂದು ಬಲ ತಿರಿಚು ಮತ್ತು ಒಂದು ಎಡ ತಿರಿಚು ಉಳ್ಳ ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವಂತೆ ಅಂಟಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ೯) ಪ್ರಯೋಗ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಪರಸ್ಪರ ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿರುವ ಜೋಡಿ ಹೃದಯಾಕೃತಿಗಳು ದೊರೆಯದೇ ಇದ್ದರೆ ನೀವು ತಯಾರಿಸಿದ ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳ ತಿರಿಚುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥ.

೭. ಈ ಮೊದಲು ನಮೂದಿಸಿದ ಒಂದು, ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಅರೆ ತಿರಿಚುಗಳುಳ್ಳ ಬಳೆಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ತಯಾರಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊದನ್ನೂ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ದುದ್ದಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸಿ ಮೂಲ ಬಳೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ತಿರಿಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ದೊರೆಯುವ ಬಳೆಗಳ ಸ್ವರೂಪ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ತಿರಿಚುಗಳು ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿ. ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಐದು ಅರೆ ತಿರಿಚುಗಳಿರುವ ಬಳೆ ತಯಾರಿಸಿ ಅವನ್ನು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ದುದ್ದಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸಿ ನೀವು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಧೃಡೀಕರಿಸಿ.

[ಗಮನಿಸಿ: ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅಂಟಿರುವ ಬಳೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುವ ಸುಲಭೋಪಾಯ ಇಂತಿದೆ. ಚಿತ್ರ ೧೦ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ + ಆಕಾರದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅಳತೆಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಾಗದದಿಂದ ತಯಾರಿಸಿ. ೧ ಮತ್ತು ೩ ನೇ ತುದಿಗಳನ್ನು ತಿರುಚಿ ಅಥವ ತಿರುಚದೆ ಹಾಗೂ ೨ ಮತ್ತು ೪ ನೇ ತುದಿಗಳನ್ನು ತಿರುಚಿ ಅಥವ ತಿರುಚದೆ ಅಂಟಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಜೋಡಿ ಬಳೆಗಳನ್ನು ನರ್ಮಿಸಬಹುದು]