ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೩೨

೩೨. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚುವುದು - ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ ವಿಧಾನ

(ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣ ಆಧಾರಿತ ವಿಶಿಷ್ಟ ನಮೂನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ)

ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಅಥವ ಅಪವರ್ತ್ಯವನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವ ಅಥವ ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ‘ಊಹಿಸುವಿಕೆ’ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೩೧ ಲೇಖನದಿಂದ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ. ಅರ್ಥಾತ್, ಆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಈ ಮುಂದೆ ನೀಡಿರುವಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನೋಡಿ).

‘ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳೆದು ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೨೯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದಾದರೆ ಆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?’

ಇಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ವಿಧಾನವೇ ಬಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಲೀಲಾವತೀಯ ೧೬ ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ ‘ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ’ ವಿಧಾನ. ಈ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ‘ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ’ ವಿಧಾನದ ತಿರುಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಕಲಿಯುವುದು ಸುಲಭ.

ಉದಾಹರಣೆ ೧: ‘ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳೆದು ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೨೯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದಾದರೆ ಆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?’

‘ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೨೯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ’ ಎಂದಾದರೆ ೨೯ ಅನ್ನು ೫ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ‘ಉಳಿದದ್ದು’ ದೊರಕಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ‘ಉಳಿದದ್ದು’ = ೨೯ x ೫ = ೧೪೫. ‘ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳೆದರೆ ಉಳಿದದ್ದು ದೊರಕುತ್ತದೆ’ ಎಂದಾದರೆ ‘ಉಳಿದದ್ದಕ್ಕೆ’ ೧೫ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ‘ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟು’ ದೊರಕಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ೧೪೫+೧೫ = ೧೬೦, ಇದು ‘ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟು’ ಆಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಐದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರಕಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ೧೬೦/೫ = ೩೨.

ಉದಾಹರಣೆ ೨: ‘ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ೮ ಕಳೆದರೆ ೪೦ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?’

‘ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ೮ ಕಳೆದರೆ ೪೦ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ’ ಅಂದರೆ ೪೦ ಕ್ಕೆ ೮ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಗುಣಲಬ್ಧ ದೊರಕಬೇಕಷ್ಟೆ?  ಅರ್ಥಾತ್, ೪೦+೮=೪೮ - ಇದು ಉಲ್ಲೇಖಿತ ಗುಣಲಬ್ಧ. ಈ ಗುಣಲಬ್ಧ ದೊರಕಿದ್ದು ಹೇಗೆ? ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದ್ದರಿಂದ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ೧೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗ ಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ೪೮/೧೨=೪. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ೪ ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೇನು?  ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿರುವ ಗಣಿತೀಯ ಕರ್ಮಗಳ ತದ್ವಿರುದ್ಧ ಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಮಾಡಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ?  ಇದೇ ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ ವಿಧಾನ.

ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ, ಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯಿಸಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ ೧: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ೧೦ ಕೂಡಿಸಿ ದೊರಕಿದ ಮೊತ್ತದ ೨/೫ ರಷ್ಟರಿಂದ ೪ ಕಳೆದಾಗ ೧೨ ದೊರಕಿತು. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?



ಸಮಸ್ಯೆ ೨: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೫ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ೩/೫ ರಷ್ಟಕ್ಕೆ ೧೫ ಕೂಡಿಸಿದೆ. ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ೮ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ೩ ಆದರೆ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?



ಸಮಸ್ಯೆ ೩: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅದರ ೩/೮ ರಷ್ಟನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ೩೩ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? (ವಿ ಸೂ: ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ‘ಊಹಿಸುವಿಕೆ ವಿಧಾನದಿಂದಲೂ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು)



ಸಮಸ್ಯೆ ೪: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅದರ ೩/೮ ರಷ್ಟನ್ನು ಕಳೆದರೆ ೧೫ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? (ವಿ ಸೂ: ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ‘ಊಹಿಸುವಿಕೆ ವಿಧಾನದಿಂದಲೂ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು)



ಸಮಸ್ಯೆ ೫: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೩ ಇಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು. ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಅದರ ೩/೪ ರಷ್ಟನ್ನು ಕೂಡಿಸಲಾಯಿತು. ಮೊತ್ತವನ್ನು ೭ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದೊರಕಿದ ಭಾಗಲಬ್ಧದಿಂದ ಅದರ ೧/೩ ರಷ್ಟನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಯಿತು. ಉಳಿದದ್ದರ ವರ್ಗದಿಂದ ೫೨ ಅನ್ನು ಕಳೆದು ಉಳಿದದ್ದರ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ೮ ಕೂಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ದೊರಕಿದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ೧೦ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿ ೨ ಭಾಗಲಬ್ಧ ದೊರಕಿತು. ಓ ಚಂಚಲ ಕಣ್ಣುಗಳುಳ್ಳ ಬಾಲೆಯೇ, ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ನಿನಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದೆಂಬುದನ್ನು ನನಗೆ ಹೇಳು.



ಈ ಲೇಖನ ಮಾಲಿಕೆಯಂದ ನಮ್ಮ ಪುರಾತನರ ಗಣೀತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಲ್ಪಸ್ವಲ್ಪ ಪರಿಚಯ ನಿಮಗಾಗಿದೆಯೆಂದು ನಂಬುತ್ತೇನೆ. ಲೀಲಾವತೀ, ವೇದಗಣಿತ, ಆರ್ಯಭಟೀಯ ಮೊದಲಾದ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ಬೇಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಖಗೋಲಶಾಸ್ತ್ರ ಸಂಬಂಧಿತ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವಿವರಣೆ ಇರುವುದೇ ನಾನು ‘ಅಲ್ಪಸ್ವಲ್ಪ‘ ಎನ್ನಲು ಕಾರಣ.

ಲೀಲಾವತೀಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ಕುತೂಹಲಕಾರೀ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಯಾದಿಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಿ ಈ ಮಾಲಿಕೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.