ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು - ೧೪

೧೪ ಭಾಗಾಕಾರ (ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)

ವಿಧಾನ ೧, ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡವಾಗಿ ವಿಧಾನ: (ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)

ಇದುವರೆಗೆ ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದ ಲೆಕ್ಕಗಳ ಪೈಕಿ ೧-೨ ಬಿಟ್ಟು ಮಿಕ್ಕ ಎಲ್ಲವುಗಳಲ್ಲಿ ೨ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಭಾಜಕಗಳಿದ್ದವು. ಎಂದೇ, ಅವನ್ನು ತಲಾ ಒಂದು ಅಂಕಿಯುಳ್ಳ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಧ್ವಜಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಿತ್ತು. ಎಂದೇ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಭಾಜಕ/ಗುಣಕ ಒಂದು ಅಂಕಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತಿತ್ತು. ತತ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತಿದ್ದ ಗುಣಾಕಾರ ಭಾಗಾಕಾರಗಳು ಬಲು ಸರಳವಾದವು ಆಗಿರುತ್ತಿದ್ದವು. ಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ೩ ಅಥವ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳಿದ್ದು ೧ ಅಂಕಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಿದರೆ ಮುಂದೆ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಭಾಗಾಕಾರಗಳು ಕ್ಲಿಷ್ಟವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹೆಚ್ಚು. ಇಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಇಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ೩ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಭಾಜಕ ಇರುವ ಭಾಗಾಕಾರದ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಹಂತ ೧: ಭಾಜಕವನ್ನು ೧ ಅಂಕಿ ಇರುವ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ೨ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುವ ಧ್ವಜಾಂಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ಈ ಹಿಂದೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನೀಟ ಗೆರೆಯ ಬಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅರ್ಥಾತ್ ಶೇಷವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧ್ವಜಾಂಕದಲ್ಲಿ ಇರುವಷ್ಟೇ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುವುದನ್ನು ಖಾತರಿ ಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಹಂತ ೨: ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಜ್ಯದ ಆವಶ್ಯಕತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮೊದಲಿನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇವನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಿ ಓದಬೇಕು.



ಹಂತ ೩: ಧ್ವಜಾಂಕದಲ್ಲಿ ೨ ಅಂಕಿಗಳಿರುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಎಡತುದಿಯ ಅಂಕಿಯಿಂದ ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದಿದ್ದ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿ. ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿನ ಶೇಷಸಹಿತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಲಭಿಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಸಮೀಪ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತುಸು ಕೆಳಗೆಯೂ ಬರೆಯಿರಿ.



ಹಂತ ೪: ಈ ತನಕ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗಿಂತ ತುಸು ಭಿನ್ನವಾದದನ್ನು ಮಾಡುವ ಹಂತ ಇದು, ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ೨ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಈ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಪೈಕಿ ಬಲಗಡೆ ಇರುವುದನ್ನು ಧ್ವಜಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡ ತುದಿಯ ಅಂಕಿಯಂದಲೂ ಎಡಗಡೆ ಇರುವುದನ್ನು ಬಲ ತುದಿಯ ಅಂಕಿಯಿಂದಲೂ ಗುಣಿಸಿ (ಇಂತು ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅಡ್ಡಗುಣಾಕಾರ ಅನ್ನಬಹುದು) ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.  ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದ ಶೇಷಯುತ ಅಂಕಿಯಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಆಧಾರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದೊರೆತ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಈ ಹಿಂದಿನಂತೆ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಂತ ೫: ಈಗ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಬಾಗದಲ್ಲಿ ೩ ಇರುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ? ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಎಡತುದಿಯ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳನ್ನೂ ಧ್ವಜಾಂಕದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನೂ ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ ‘ಅಡ್ಡಗುಣಾಕಾರ’ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.  ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದ ಶೇಷಯುತ ಅಂಕಿಯಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಆಧಾರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದೊರೆತ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಈ ಹಿಂದಿನಂತೆ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಿರಿ. ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಅಂಕಿಗಳು ಮುಗಿಯುವ ವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿಸಿ. ಪ್ರತೀ ಬಾರಿ ಧ್ವಜಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅಡ್ಡಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಲು ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಬಲತುದಿಯ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯದಿರಿ.



ಹಂತ ೬.: ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವ ಹಂತ ಇದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಥಾನಕ್ಕಿಂತ ೧ ಸ್ಥಾನ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಾನದ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅಂಕಿ ದೊರೆಯುವ ತನಕ ಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಿದ್ದು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು. ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಶೇಷ ಎಷ್ಟೆಂಬುದು ತಿಳಿದರೆ ಸಾಕು ಎಂದಾದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.



‘ಒಯ್ಯುವಿಕೆ’ ಕ್ರಿಯೆಯೂ ಇರುವ ಕೆಲವು ವಿವರಣಾರಹಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ,



ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಭಾಜಕವಿದ್ದರೂ ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ವೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಕಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವ ಸಂದರ್ಭ ವಿರಳಾತಿವಿರಳ. ಎಂದೇ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿಲ್ಲ.

ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಇತರ ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನಗಳು